高等数学方明亮版无穷小的比较.ppt

第七节 无穷小的比较 一、无穷小的比较 二、等价无穷小的性质及应用 内容小结 思考与练习 返回 上页 下页 目录 第一章 为什么要研究“无穷小的比较”？（老师解释） 本节内容提要： 一、无穷小的比较的定义 二、无穷小的比较的性质及应用 三、本节小结及思考练习 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作 定义 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 例如 , 当 时, ～ 证: ～ 例1 证明: 当 ～ 定理1 ～ 证: 即 即 例如, ～ ～ 故 且 存在 , 则 证: 定理2 （等价无穷小替换定理） 设 应用举例：习题1－7 3（1） 定理3 ～ ～ 常用等价无穷小 : ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 例2 求 解: 例3 求 解: 原式 等价无穷小代换只使用于因式乘积的整体代换，而对于代数和中各无穷小不能分别替换. 特别注意： 例4　求 解　当 时， ， ，所以 解: 例5 求 当 时， 所以， 事实上， 我们有以下补充规则（书上没有的）： 设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 由等价无穷小的 性质, 可得简化某些极限运算的下述规则. （1） 和差取大规则: 若 ? = o(?) , 例如, 例如, （2） 和差代替规则: （3）因式代替规则: 界, 则 例如, ? 1. 无穷小的比较 设 ? , ? 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 ～ ～ ～ ～ ～ 常用等价无穷小 : Th 2 2. 等价无穷小替换定理 课后练习 习 题 1-7 2 3（偶数题） 4 解: 不能． 例当 时, 都是无穷小量. 但 不存在且不为无穷大. 1、任何两个无穷小都可以比较吗？ 故当 时, * * * * 返回 上页 下页 目录