高等数学——无穷小的比较.doc

PAGE 42 PAGE 41 无穷小的比较 一、基本内容 1. 无穷小的比较： （1）定义：同阶无穷小，低阶无穷小，高阶无穷小，等价无穷小 （2）常用的等价无穷小：当时 , , , , , , ， （）， 。 关于等价无穷小的重要结论（等价无穷小替换）：设是自变量同一变化过程中的无穷小，且，存在或为无穷大, 则 二 、学习要求 1. 掌握无穷小的比较； 2. 熟记常用等价无穷小，能灵活应用等价无穷小替换求极限。 三、基本题型及解题方法 题型1 判断无穷小的阶 解题方法： 根据定义对其做比值求极限即可 【例1】 设，，则当时，是的 阶无穷小。 解：因为 == 所以 是的 同 阶无穷小。 题型2 利用等价无穷小的替换求极限 解题方法：须熟记一些常用等价无穷小，如当时， ， ，， ， ， ， 等，并能将其推广，即用任意一个无穷小量代替后，等价关系仍然成立。例如，当时，。 只有这样才能灵活运用等价无穷小替换来求极限，但在替换时还要注意只有乘积因子方可作等价无穷小替换。 【例2】 计算下列极限： （1）； （2）。 解：（1）因为时，-1， 所以 （2）原式= 又因为 时， 所以 原式。 四、同步练习 （一）填空题： 1．当时，函数与是等价无穷小，则 。 2．当时，是的 无穷小。 3．当时，与是 无穷小。 4．当时，是的 无穷小。。 5．当时，是的 无穷小。 6．当时，~ ，~ 。 7．当时，是 的 无穷小。 8．当时，是的 无穷小。 （二）选择题： 1．当时，函数是的（ ）无穷小 A．高阶； B．低阶； C．同阶但不等价； D．等价 2．（ ） A．； B．； C．1； D．?1 3．下列运算过程正确的是（ ） A． ； B．当时，，，故； C．当时，，，故； D． 4．当时，比高阶的无穷小量是（ ） A．； B．； C．； D． 5．设，则（ ） A．； B．； C．2； D．3 （三）解答题： 1．计算：； 2．计算：； 3．计算：； 4．求。