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向量组的秩和最大线性无关组

引例：对于方程组

2xxx1

123

x22x1

123

x33x2

123

容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程

减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性

组合）；

由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程

组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最

少的向量是2个。

因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有

效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念：

最大线性无关组：在中，存在满足：

,,,,,,



12si1i2ip

（1）线性无关；

,,,



i1i2ip

（2）在中再添加一个向量就线性相关。

,,,



i1i2ip

则称是的一个最大线性无关组，



,,,,,,



i1i2ip12s

注：

Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有中任一向量均可由

,,,



12s

线性表示；或者亦可以说成中任意个向量均线性

,,,,,,

p1

i1i2ip12s

相关；

Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量

组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即

有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）；

Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方

程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3

两个方程的和），因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是

不唯一的；

Ⅳ、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解

的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，

最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一

的。这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量