维向量组的极大线性无关组.ppt

3.4向量组的极大线性无关组问:其中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量?定义1若向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示,则称向量组可由向量组线性表示，若向量组和可以互相线性表示，则称两个向量组等价等价的向量组12向量组可由线性表示，即向量组可由线性表示等价于存在的矩阵使01若向量组和等价02等价向量组的性质：1.自反性：一个向量组与其自身等价2.对称性：若向量组和等价，则向量组和等价。3.传递性：若向量组和等价，向量组和等价，则向量组和等价。定理1设中的两个向量组和若向量组可由线性表示，且，则向量组线性相关少的表示多的，多的一定线性相关注：1.,不能相等;2.时，结论不一定成立.（证明略）1推论1若向量组可由向量组2线性表示，又已知线性无关，则必有3推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它4们所含的向量个数相等5注：若只是等价的向量组，它们所含的向量6个数未必相等定理1的逆否命题：二极大线性无关组满足下述条件：定义极大线性无关组等价定义如果一个向量组A的一个部分组01040203一个向量组的极大线性无关组可能不唯一向量组和其极大线性无关组等价注:一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价)向量组的秩与矩阵的秩的关系定理2矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系定义一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩.线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数.例2定理3矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也0102求向量组的最大无关组的步骤:等于它的行向量组的秩.例3：设有向量组求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。求向量组的一个极大线性无关组。把其余向量表示成为该极大线性无关组的线性组合解：取向量组即为A的列向量R(A)=2,所以向量组的秩为2。为向量组的一个极大线性无关组推论：设A为矩阵，秩，则有:由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们立刻会发现一个有趣的现象：当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量组线性无关的充要条件是当r=m时，A的行向量组线性无关;当rm时，A的行向量组线性相关当r=n时，A的列向量组线性无关;当rn时，A的列向量组线性相关。3.5向量空间一、向量空间的定义定义1设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且那么就称集合V为向量空间.则a+b?V;若a?V,??R,则?a?V.若a?V,b?V,例1判别下列集合是否为向量空间.01解0201例2判别下列集合是否为向量空间.02解