向量组的极大无关组与向量空间.ppt

第3.5节向量空间向量空间的概念主要内容:向量在基下的坐标思考练习题向量空间的基与维数一、向量空间的概念说明:n维向量的全体，也是一个向量空间。定义1：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间．集合V对于加法及数乘两种运算封闭指例1：3维向量的全体是一个向量空间。主要内容:一．等价向量组二．向量组的极大线性无关组三．向量组的秩与矩阵秩的关系第3.4节向量组的极大

线性无关组一、等价向量组若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。即表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。定义1：如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性等价向量组的基本性质:定理：设与是两个向量组，如果:(2)则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1)向量组线性表示；可以由向量组二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组(零向量线性相关)。简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示。（2）向量组A中每一个向量均可有线性表示。例如：在向量组中，也是一个极大无关组。首先线性无关，又线性相关，注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。所以还可以验证组成的部分组是极大无关组。打开率35%25%20%10%1月2月3月4月5月6月极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得定理：一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。1.向量组的秩（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。2.矩阵的秩单击此处添加小标题把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。单击此处添加小标题定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。单击此处添加小标题例如：矩阵单击此处添加小标题的行向量组是可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。问题：矩阵的行秩＝矩阵的列秩引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）证：把按行分块，设（1）对换矩阵A的两