3_3向量组的秩和极大线性无关组.ppt

《线性代数》 下页 结束 返回 第三节 向量组的秩和极大线性无关组 一、向量组的等价 二、向量组的极大线性无关组 三、向量组的秩 1) 向量组的秩的计算方法 2) 极大无关组的确定方法 3) 用极大无关组表示其它向量的方法 下页 一、等价向量组 定义1 设有两个向量组 （Ⅰ） （Ⅱ） 如果（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表示，则称 （Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果向量（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）可以 相互线性表示，则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 例1. （Ⅰ）a１=(1, 0) , a 2=(0, 1) （Ⅱ） b１=(1, １) , b 2=(１, -1), b 3=(１, 5)两组等价. 显然, b１=a１＋a２ 即（Ⅰ）和（Ⅱ）可以相互线性表示， , b 2=a１－a２ , b 3=a１＋５a２ 所以，向量组（Ⅰ）与 向量组（Ⅱ）等价. 下页 等价向量组的性质 （1）自反性：向量组与其自身等价； （2）对称性：若向量组(I)等价于(II)，则向量组(II)等价于(I)； （3）传递性：若向量组(I)等价于(II) ，向量组(II)等价于(III)， 则向量组(I)等价于(III). 例2. 向量组 等价于其部分向 量组a１，a２. 事实上，a１，a２，a3中的每一个向量可由a１，a２线性表示： 而 a１，a２中的每一个向量可由a１，a２，a3线性表示： 下页 例3．在向量组a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)中， 向量组a1=(0, 1)， a2=(1, 0)线性无关，且有 同样a2，a4也是一个极大无关组. 所以a1，a2是向量组a1，a2，a3，a4的一个极大无关组. a4=(0, 2)=2(0, 1)=2a1+0a2， a3=(1, 1)=(0, 1)+(1, 0)=a1+a2， 二、向量组的极大无关组 定义２ 如果向量组a1，a2 ,… ,am的一个部分向量向量组 aj1，aj2 ,… ,ajr(r≤m)满足： (1) aj1，aj2 ,… ,ajr线性无关； (2) 向量组a1，a2 ,… ,am中的任一向量可由aj1，aj2 ,… ,ajr线性表示， 则称aj1，aj2 ,… ,ajr为向量组a1，a2，… ,am的一个极大线性无关组. 注：１) 一个向量组的极大无关组不一定唯一；(见例3) ２) 一个向量组与它的极大无关组等价.（显然） 下页 线性表示， 则r≤s. 二、向量组的极大无关组 定理5 设向量组 线性无关，并且可由向量组 推论2 一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组 本身等价，而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个 数相等. 推论1 任意n+1个n维向量一定线性相关. 下页 定义3 向量组a1，a2，??? ，am的极大无关组所含向量的个 数称为向量组的秩. 规定，只含零向量的向量组的秩为0 . 向量组a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)的一个极大 无关组为a1，a2，所以向量组a1，a2， a3 ，a4,的秩为2 . 单位向量组e1，e2，??? ，en 是Rn的一个极大无关组，所以r(Rn)=n . 三、向量组的秩 由于向量组的极大线性无关组与向量组本身等价，由等价的传递 性，等价向量组的极大线性无关组等价，所以， 等价的向量组有相同的秩. 下页 1.矩阵的行秩与列秩 若把Am×n矩阵按列分块，得到一个由n个m维列向量组成的向量组, 称为A的列向量组; 若把A按行分块，得到一个由m个 n维列向量组成 的向量组,称为A的列向量组. 定义4 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩 称为矩阵A的列秩. 定理6 矩阵的行秩等于列秩，且等于矩阵的秩. 2.求向量组的秩的方法(下页) 下页 例4. 求下列向量组的秩 α１=(1, 2, 3, 4)，α２=( 2, 3, 4, 5)，α３=(3, 4, 5, 6) 解：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵Ａ，用初等变换将Ａ化 为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的秩为２，所以向量组的