向量的相关性和极大无关组.doc

初等变换与向量组的秩和极大线性无关组 阮淑萍 摘要：系统分析总结了向量组的秩和向量组的极大线性无关组与矩阵的初等行列变换的关系，总结给出了利用矩阵初等变换直接求向量组的秩、向量组的极大线性无关组以及向量组中的向量用极大线性无关组表出的方法并给出了具体的例子。 关键词：向量组；秩；极大线性无关组；线性表出；初等变换 中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号：1007-7081（2001）增刊-0123-03 1 概念及性质 我们知道一个n维向量组中必有线性无关的部分组，除非中每个向量均为零向量。这样中必然存在极大线性无关组。 为的极大线性无关组的含义是：本身是线性无关的，而且线性无关的部分组，其所含向量的个数是最大的，即是线性相关的。 一个向量组，其极大线性无关组一般不唯一。但是，极大无关向量组所含的向量个数是唯一的。因为若是的两个极大线性无关组，则由于、均是极大线性无关组，其向量个数最大，所以有，且，于是。 我们称向量组的极大线性无关组向量个数为的秩。 如果是的一个极大线性无关组，则，可由线性表出。因为若线性无关，则有个向量线性无关，与的秩为矛盾。所以线性相关，从而存在不全为0的，使。线性无关，必有，于是可由线性表出。 向量组的秩与构成的矩阵的秩相等，因而可通过初等变换化矩阵为标准形或阶梯形，从而得到的秩。 2 分析与求法 如何寻找的一个极大线性无关组，并将中的其余向量用极大线性无关组表示出来呢？我们亦可通过矩阵的初等变换，然后求解同等方程组来得到。 设按列排成一个矩阵，对初等行变换得，则向量中的向量之间的线性关系与中的向量之间的线性关系一致。 即若中部分组之间有线性关系： （*） 则中向量组之间亦有相同的关系，即有： （**） （*）可表为。 对作初等变换，得，即存在一可逆阵，使得，从而有，所以有： ，于是（**）即得。 由上述结果可知： 若的列向量组中有极大线性无关组，且有使，则在中相应的子组是的一极大线性无关组，的秩为，且对，亦有关系： 相应地，将一向量组按行排成矩阵，对作初等变换，得。则中向量之间的线性关系与中向量之间的线性关系一致。 于是，我们可以总结出利用初等变换求向量组的秩、极大线性无关组以及由此极大线性无关组线性表出向量组中其余向量的方法： 设维向量组，将其按列（行）排列成矩阵（），对作初等行（列）变换将其化为上三角形矩阵，则的非0行（列）阶梯个数即为的秩；而的非0阶梯的第一个非0元素对应的列（行）便构成的列（行）向量组的一个极大无关组，设为，其对应于中相应的列（行）便构成的一个极大无关组，设为。 此时，方程组与同解，其中。 或方程组与同解，其中。 因此，欲求向量由的线性表示，可在同解方程组中令的系数为保留未知数，其余的全为0，，即可求解出唯一的一组系数，从而得。 所以，将按列排成矩阵，经过一系列初等行变换变为矩阵，为阶梯形。 设中的列构成极大无关组，继续作初等变换，使得的前行化为单位阵，这时设变为，仍用记之，其列构成一极大列向量无关组，其余的任一列，其前个分量即为中的个系数。 3 举例 例如：设向量组， 求： (向量组的秩； (的一个极大线性无关组； (将中其余向量由这组极大线性无关组表示出来。 为此，将中向量按列排成矩阵，，对作一系列的行变换变成阶梯形矩阵，即： 是一个2阶梯矩阵，所以可知向量组的秩，且从的阶梯前二列可知中的前二列为向量组的一个极大线性无关组； 对继续作行变换化为矩阵： 从可知，是的一组极大线性无关组，另二个向量可由线性表出，且有：。 另外，从中还可以看出也是一组极大线性无关组，且对作初等行变换有： 于是，可得分别由线性表出的表达式： 当向量组按列排成矩阵时，若对其作初等变换，则列变换使原来所排的向量在矩阵中所对应的相应顺序发生了改变，所以变换后所得的矩阵中线性无关的列向量与原来矩阵中相应的向量顺序不对应，因而从最终的矩阵不能看出原来向量组中哪些向量线性无关以及哪些向量构成极大线性无关组。 4 总结 本文系统分析了向量组的秩、极大线性无关组的性质，对利用矩阵初等变换求秩，特别是寻找向量组的极大线性无关组以及如何求其他向量由该极大线性无关组的线性表示的方法给出了完整的论述和计算方法。并且要特别强调的是，如果单纯只求向量组的秩的话，则初等行变换和初等列变换均可在求解过程中使用，但，若需要求一组极大线性无关组以及求其他向量由该极大线性无关组的线性表示时，就必须注意只能在求解过程中使用行或列变换中的一种，即当将向量组的向量按列排成矩阵时，就只能对矩阵作初等行变换；当按行排成矩阵时，就只能对矩阵作初等列变换，否则，就会发生错误，从而最终的结果得不出极大线性无关组以及用极大线性无关组线