节向量组的线性相关性与线性无关性.ppt

第二节 向量组的线性相关性与线性无关性 定义1 设α1 ，α2 ，…，αm ，β是一组n维向量， 若存在m个实数 k1 ，k2 ，…，km使得 β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm ，则称β可以 由α1 ，α2 ，…，αm线性表示( linear representation )。或称α1 ，α2 ，…，αm线性 表示(linear generate)β。 例如：α1 = (1, 2, 0) T，α2 = (1, 0, 3) T, α3 = (3, 4, 3)T，则α3 = 2α1 + α2 ，即存在 实数k1＝2，k2＝1使得α3 = k1α1 + k2α2，故α3 可以由α1 ，α2线性表示。（大家想一想，这里的常 数k1 ＝2，k2＝1是怎么求出来的？） 定义2 设α1 ，α2 ，…，αm是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，则称向量组 α1 ，α2 ，…，αm线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α1，α2，…，αm 线性无关。 例1 若一个向量组仅由一个向量α组成， 则由定义2 易知它线性相关的充要条件是α = 0 。 例2 若一个向量组仅由α，β两个向量组成，则α，β线性相关是指α，β这两个向量的分量对应成比例，换句话说，即是指α与β平行或α，β共线。 证明： α，β线性相关 存在不全为0的两个数k1，k2使得k1α + k2β = 0 ，不妨假设k1 0，则由k1 α + k2 β = 0 知α = β, 此即说明α ，β的分量对应成比例。 注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α，β，γ三个向量构成，则α，β，γ线性相关的充要条件是α ，β ，γ共面。 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无关的定义，下面我们将用肯定的表述来说明线性无关这个概念。为此，我们先检查线性相关的定义。称α1，α2，…，αm 线性相关是指存在不全为0的m个常数k1，k2，…，km使得k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0 , 这即是说：以k1，k2，…，km为未知数的方程（实际上，若按向量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α1 + k2 α2 + … +km αm = 0 有非零解（k1 ，k2 ，…，km）。 因此，我们有下述几种等价说法： α1，α2，…，αm线性无关 以k1，k2，…，km为未知数的方程k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0没有非零解 k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0只有零 解：k1 = k2 = … = km = 0 由k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0一定可以推出 k1 = k2 = … = km = 0 若k1，k2，…，km不全为0，则必有k1α1 + k2 α2 + … + km αm ? 0。 注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm线性无关是指当系数k1，k2，…，km全为0时，有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际上，这种看法是错误的。大家想一想，当系数k1 ，k2 ，…，km全为0时 ，k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1，α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联系。 从上述关于线性无关的几种等价说法可以看出：α1，α2，…，αm线性无关是指，只有当k1= k2 = … = km = 0时才有k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0。或者换句话说，在k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0这个条件 下，一定可以推出k1= k2 = … = km = 0。实际上，以后我们证明一个向量组线性无关时，一般均采用此观点，即先假设k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0，然后在此假设条件下去证明k1= k2 = … = km = 0. 例 设e1 = (1, 0, 0 )T, e2 = (0, 1, 0 ) T, e3 = (0, 0, 1) T, 证明：e1, e2 , e3线性无关。 证明：如果存在数k1 ，k2 ，k3使得 k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 = 0，即 通过左边的数乘和加法，上述等式即是 所以 k1= k2 = k3 =0 。 因此，