向量组的线性相关性.ppt

第四章向量组的线性相关性定义1n个有次序的数所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。以下除特殊说明外，一般只讨论实向量。n维向量可写成一行，也可写成一列。按第二章的规定，分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n维列向量与n维行向量总看作是两个不同的向量（按定义1，与应是同一个向量）。4.1n维向量4.1n维向量列向量用小写字母等表示,行向量则用等表示，所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象，在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式——三个有次序的实数，也就是3维向量，因此当时,n维向量可以把有向线段作为几何形象，但当时，n维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。（二）n维向量的线性运算（三）n维向量的线性运算满足的性质01若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如一个矩阵有n个m维列向量02它们组成的向量组称为矩阵A的列向量组。03矩阵A又有m个n维行向量04它们组成的向量组称为矩阵A的行向量组4.2n维向量组的概念反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。01例如m个n维列向量所组成的向量组构成一个矩阵m个n维行向量所组成的向量组构成一个矩阵可见矩阵与向量组是一一对应的关系。020304054.2n维向量组的概念，向量定义2给定向量组A：，对于任何一组实数则向量是向量组A的线性组合，这时称向量能由向量组A线性表示。，使给定向量组A：和向量,如果存在一组数称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。4.3线性组合的概念定义3设有两个向量组A：及B：，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。A：B：A组由B组线性表示即（*）1234.4向量组等价的概念矩阵乘法形式表示4.4向量组等价的概念即A=KB（A组由B组线性表示）（*）为列向量组构成矩阵算法形式，（*）也可写成行向量组构成矩阵算法形式如果A组与B组等价，这里矩阵K可逆B=K-1A（B组由A组线性表示）即A=KB而B=K-1A,A组与B组等价。4.5向量组的相关性定义4给定向量组A：，如果存在不全为零的数，使则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。向量组A：线性相关，也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这是因为：如果向量组A线性相关，则有不全为0的数使。因不全为0,不妨设于是便有即a1能由线性表示。即向量组线性相关中至如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表示，不妨设能由线性表示，即有因为这m个数不全为0（至少）,所以向量组A线性相关。使