第4章-向量组的线性相关性.ppt

(2) “个数大于维数必相关” A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关. 设 要证 A 的列组线性相关. (3) 无关, 相关 则 可由 A 唯一表示. 这由 有唯一解. 又说明: 如果一个向量可用无关组表示, 则表法必然是唯一的. 为以后引用方便, 给它起个名子叫唯一表示定理. 写成矩阵乘积: 从而 (4) 向量 组 B 可由向量组 A 表示, 则 (后者的 A, B是矩阵) 存在矩阵 C 使得 B = AC 为以后引用方便, 给它起个名子叫表示不等式. (5) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关.(Steinitz定理) 则 必相关 如果 可由 表示, 又 mn, 则 B 必相关. (6) “短的无关, 则长的也无关”.反之… 是无关的. 也是无关的. ( P109 习题16 , P110 习题17 ) (题目看书) (16) (17) 如果 无关, 则对任一 n 维向量 必相关. 从而, 可由 线性表示( 且表法唯一). 反之, 单位坐标向量可由 表示, 由(16)题知它是线性无关的. 例6 (同P87 例3) 重新证 P108 习题5 (以前已作为例题讲过) 见 P90 例7 (看书) 例7  第四章 向量组的线性相关性 §4.4 线性方程组解的结构 §4.3 向量组的秩 §4.2 向量组的线性相关性 §4.1 向量组及其线性组合 §4.5 向量空间 §4.3 向量组的秩 对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系( 即哪些向量可由另外一些向量线性表示?) 希望: 在一个向量组中能找到个数最少的一部分向量, 其余的向量都可由这些向量线性表示. 这样的部分组要满足什么条件？ (1) 线性无关, (2) A 中任意 r + 1 个向量(如果有的话)都线性相关. 定义1 如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足 则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组. (P91 定义5) (2) A 中任一向量都可由 A0 表示. (P92 等价定义) 定义2 (1) 线性无关, 如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足 则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组. 定义 向量组 A 的最大无关组所含向量的个数 r (显然是唯一的)称为向量组 A 的秩. 仍记为 r(A). 只含零向量的向量组无最大无关组, 规定其秩为0. 回答: (1) 向量组的最大无关组唯一吗? (2) 如果向量组的秩为 r ,则其任一 r 个线性无关的向量都是其最大无关组吗? (3) 向量组与其任一最大无关组等价吗? (4) 向量组的任意两个最大无关组等价吗? (5) 等价向量组的秩相等吗? 例1 求向量组 的一个最大无关组和该向量组的秩. 同理, 等也是最大无关组. 在求解过程中考虑: 向量组的秩与它构成矩阵的秩有何关系? 易求得 说明 A 中有一个 2 阶子式不为零. 如取前两列前两行: 那么 , 从而 线性无关. 再看 A 的任意三列 , 因为 所以任意三列都是线性相关的.根据定义 就是一个最大无关组 ( P91 定理6 ) 三秩相等定理 例2 求向量组 的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出. 接例1, 已求得一个最大无关组为 要求 用 表出, 这相当于要解方程组 解 你能将求最大无关组和把其余向量用该最大无关组表出一步完成吗? 类似 可求 用 表出. 解 例3 (P94 例11) 求向量 一个最无关组,并把其余 向量用该最大无关组表出. 矩阵的秩= 线性无关吗? 是最大无关组吗? 再深入: 则 与 同解 即 与 同解 说明: 矩阵的初等行变换不改变列之间的线性关系. 比如 (移项便知) 相关(无关) 相关(无关) 前面的做法,也可依此理论为依据(本质一样). 右边的最大无关组 左边的最大无关组 为什么以前我们把矩阵