讲向量组的线性相关性.ppt

第二章 向量组的线性相关性 第一节 n维向量 三、向量、向量组与矩阵 第二节 线性相关与线性无关 六、线性相关与线性表示的关系 七、向量组线性相关性判别 八、小结 * * 第一节 n维向量 第二节 线性相关与线性无关 第三节 极大无关组 第四节 向量空间 第五节 内积与标准正交基 一、n维向量的定义 二、向量的线性运算 向量与向量之间的加法运算： 向量与数的乘法运算： 彼此之间的8条运算性质： 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 一、向量组的线性相关性 则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关． 注1：所有的向量组分成两大类，一类是组内的向量具有线性相关性，一类是组内的向量具有线性无关性；所谓讨论向量组的线性相关性指的是要你判断它属于哪一类 注2：所有含零向量的向量组一定是线性相关的 例 线性无关的等价定义 反之亦然: 例 二、向量的线性表示 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 例 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联系 1、线性齐次方程组 矩阵形式： 线性组合形式 结论1：线性齐次方程组有非零解当且仅当： 线性相关 结论2：线性齐次方程组有只有零解当且仅当： 线性无关 三、向量组的线性相关性与线性方程组的解的联系 2、线性非齐次方程组 矩阵形式： 线性组合形式 结论3：线性齐次方程组有解当且仅当：向量b可以由向量组 线性表示 四、向量组中成员的增减对相关性的影响 1、线性相关的向量组：增加向量后的向量组仍然线性相关。 2、线性无关的向量组：去掉向量后的向量组仍然线性无关。 3、（定理3）线性无关的向量组增加向量b后的向量组线性相关：则向量b可以向量组的成员线性表示，且表示法唯一。 四、向量组中成员增减分量对相关性的影响 1、线性相关的向量组：减少分量后的向量组仍然线性相关。 2、线性无关的向量组：增加分量后的向量组仍然线性无关。 3、向量组向量同时交换两分量，向量组线性相关性不变。 一个向量组成的向量组的线性相关性： 向量组 线性相关 或者 向量组 线性无相关 证明： 两个向量组成的向量组的线性相关性： 向量组 线性相关的充分必要条件是 对应分量成比例 或者 向量组 线性无相关的充分必要条件是 对应分量不成比例 例 证明： 定理2 向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量是其它向量的线性表示。 定理2’ 向量组线性无相关的充分必要条件是向量组中任一个向量都不能被其它向量的线性表示。 例 第一步：将m维向量组的n个向量写成列向量得到矩阵A； 第二步：将 矩阵A作初等行变换化成行阶梯矩阵， 得非零行的行数r； 第三步：如果rn，则向量组线性相关；如果r=n，则向量 组线性无关。 例 思考：如果向量组的成员数大于它的维数，向量组线性相关性是怎样的？ *