2 向量的线性相关性.doc

辽 东 学 院 教 案 纸 第3.2. PAGE 5页 §2 向量的线性相关性 教学目的 通过2学时教学，使学生基本掌握向量组线性相关与线性无关的定义、性质、判别，基本掌握替换定理及其应用，以及线性无关极大组、向量组等价、秩等概念． 教学内容 向量的共线、共面与否系几何空间R2、R3中向量间的基本关系．它们在一般空间中的反映就是本节要阐述的向量的线性相关性． 2.1 线性相关与线性无关的概念 定义1 设．若存在不全为零的数 ，使得 , 则称线性相关；否则，称线性无关． 设 R，若与共线，则线性相关；否则，则线性无关．又设R，若共线或共面，则线性相关；否则，则线性无关． 设，若，则线性无关；若，则线性相关． 请注意，设，则 ． 此时，切不能说线性无关．但是，若向量方程 只有零解，即其解只为，则线性无关． 我们来考察线性相关与线性无关的一些基本事实．首先，由定义1易见 命题3.2.1 设数域F上的n维向量 , , … , , (1) 记，则线性相关(线性无关)，当且仅当齐次线性方程组AX = 0有非零解(只有零解)，即N(A)≠0(N(A)=0)．? 命题3.2.2 设线性相关,,则 也线性相关． 证 此时，有不全为零的，使得 ． 从而有 , 故线性相关． ? 由命题3.2.2得到 命题3.2.2? 设线性无关，则也线性无关，这里是{1,…,m}中的t个不同元素． ? 注意到若AX= 0有非零解，由A的s个行组成，则BX= 0也有非零解．于是，由定义1、命题3.2.1得到 命题3.2.3 设，删去的同位置的n－s个分量得到．若线性相关，则也线性相关． ? 命题3.2.3? 设，，且 ,,…,． 若线性无关，则也线性无关． ? 考虑线性相关性与线性表示的关系，我们有 命题3.2.4 设线性无关，，且线性相关，则可以由线性表示，且表达式是唯一的． 证 由线性相关知道有不全为零的, 使得 , 且由线性无关知道．于是 ． 设是由线性表示的任一表达式，其中，则 ． 因为线性无关，所以，故，．唯一性也成立． ? 命题3.2.5 设，则线性相关的充分且必要条件是这些向量中必有一个向量可以由其余向量线性表示． 证 必要性 此时，有不全为零的，使得 ． 不妨设,则如命题3.2.4的证明知道可以由线性表示. 充分性 不妨设 , 则，其中．因此，线性相关． ? 推论3.2.1 设，则线性相关，当且仅当它们的分量对应成比例． ? 用矩阵秩的语言刻画向量的线性相关性，我们有 定理3.2.1 设如(1)所示，，则线性相关的充分且必要条件是rankA＜t． 证 当t=1时，易见定理正确． 设t＞1．若线性相关．当n＜t时，则rankA＜t，当n≥t时，任取A的一个t阶子式 , 必有一列是其余各列的线性组合，因而经过列的消法变换，此列可化 为零列．于是．因此，rankA＜t． 若rankA=r＜t，则由推论2.6.2知道有可逆矩阵P ． 于是是AX=0的一个非零解，从而由命题3.2.1知道 线性相关． ? 推论3.2.2 设如定理3.2.1所述，则线性无关的充分且必要条件是rankA = t． ? 例1 易见 rank． 所以线性无关． 我们已经看到秩的作用．进而阐述 2.2 替换定理 定理3.2.2 (替换定理) 在中，设向量组? L()．若线性无关，则m≤t，并且适当调换向量顺序，使得向量组 (2) 与等价 证 对中向量个数m用数学归纳法证明． 当m = 1时，由于线性无关，则，1≤t．又 ．于是，不全为零，不妨设，则 ． 因此，与等价，即m = 1时替换定理正确． 设m＞1，且假设对于m－1情形替换定理成立；那么对于m，由线性无关知道线性无关．于是，由归纳假设知道m－1≤t，且适当调换向量顺序，有向量组 (3) 与等价．又．从而由线性表示的传递性知道可以由(3)线性表示，设 ． (4) 由于线性无关，则由(4)知道m－1＜t，从而m≤t;并且不全为零，不妨设，则有 ． 因此，(2)与(3)等价．从而由等价的传递性知道与(2)等价．故替换定理成立． ? 推论3.2.3 在中，若向量，且m＞t，则线性相关． ? 注意到都可以由线性表示，则得 推论3.2.4 中的任意n + 1个向量必线性相关． ? 由定理3.2.2还易见 推论3.2.5 中任意两个等价的线性无关向量组所含向量的个数相同．