向量组的线性相关性..docx

线性相关性 一、填空题例 设向量组的秩为2，则 2， 5 ．例 已知向量组，，线性相关，则 ．例 若向量组线性相关，则．选择题例 设矩阵 、、均为阶方阵，若，且可逆，以下正确的是【 Ｂ 】． (A) 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价；（B）矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价；（C矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价；（D）矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价．例 ，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ C）； （B）; (C) ; (D) .例 设均为维列向量，下列选项不正确的是【 B 】．（A）对于任意一组不全为的数都有，则线性无关；（B）若线性相关，则对于任意一组不全为数都有；（C）线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为；(D）若线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 例 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是【 A 】．（A）若线性相关，则线性相关；（B）若线性相关，则线性无关；（C）若线性无关，则线性相关；（D）若线性无关，则线性无关． 例 设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 (C) 】． (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D) 任意列向量是其余列向量的线性组合． 2. 设有向量组，及向量，问为何值时(1) 向量不能由线性表示;(2) 向量能由线性表示，且表示式惟一;三、解答题．例 （本题满分6分）设为方阵的两个不同特征值，为的相应于的两个线性无关的特征向量，为的相应于的两个线性无关的特征向量，证明：向量组线性无关。 证明：设， （a） 因为为的相应于的两个线性无关的特征向量，为的相应于的两个线性无关的特征向量，有 （a）式左右两端同时左乘A可得， （b） 可得， 又因为为方阵的两个不同特征值，且线性无关，可得 同理可得 因此向量组线性无关。例 1）（6分）设A为3阶矩阵，，为A的分别属于特征值，1的特征向量，向量满足，证明线性无关；证: 令， （1） 则于是有 （2）（1）-（2）得， 由，线性无关得， 代入（1）得 ，由得， 故线性无关． 例 （8分）是齐次线性方程组的基础解系，满足，证明：线性无关．2. （6分）设阶方阵满足：．证明：可以表示成个秩为的矩阵之和．解：（1）令　整理得，上式两端左乘得，则有，由得，　于是有，由线性无关得，从而有，故线性无关．例 若向量是元非齐次线性方程组的解向量，那么它们的线性组合也是该方程组解向量的充分必要条件是；2 设是阶矩阵，和是的两个不同的特征值，是的属于特征值的两个线性无关的特征向量，是的属于特征值的特征向量，证明：线性无关．例 1设为维空间中的正交向量组，证明：线性无关.令，（2分）用左乘上式两端得，，由为维空间中的正交向量组知，，则有. （5分）因此线性无关.（6分） 例 设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的基础解系,证明:(1) 线性无关;(2) 线性无关;证: (1)令 ,用左乘上式两端得, .则有,由知,.。于是有,由线性无关知, .因此线性无关.(2) 令,整理得由(1)知线性无关,于是得,则有,因此线性无关. 1