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第四节 Gauss公式 4.4.4 高斯-勒让德求积公式 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §4 Gauss公式 第四章 数值积分与数值微分 * 4.4.1 Gauss点 求积公式 含有 个待定参数 当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次. 如果适当选取 有可能使求积公式 具有 次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss) 求积公式. 为具有一般性，研究带权积分 这里 为权函数， 设求积公式为 （4.1） 为不依赖于 的求积系数. 使得公式具有 次代数精度. 为求积节点， 可适当选取 定义 如果求积公式(4.1)具有 次代数精度， 则称其节点 为高斯点，相应公式(4.1)称为高斯求积公式. 根据定义要使(4.1)具有 次代数精度，只要对 （4.2） 当给定权函数 ，求出右端积分，则可由(4.2)解得 令(4.1)精确成立， 即 由于非线性方程组(4.2)较复杂，通常 就很难求解. 故一般不通过解方程(4.2)求 ， 而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式. 定理 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过 的多项式 带权 正交， （4.5） 证明 即 插值型求积公式(4.1)的节点 必要性. 设 则 是高斯点， 因此，如果 精确成立， 因 即有 故(4.5)成立. 则求积公式(4.1)对于 充分性. 用 除 ， 记商为 ， 余式为 ， 即 , 其中 . 对于 由(4.5)可得 （4.6） 由于求积公式(4.1)是插值型的，它对于 是精确的， 即 再注意到 知 从而由(4.6)有 可见求积公式(4.1)对一切次数不超过 的多项式均精 确成立. 因此， 为高斯点. 定理表明在 上带权 的 次正交多项式的 零点就是求积公式(4.1)的高斯点. 有了求积节点 ，再利用 对 成立， 的线性方程. 解此方程则得 则得到一组关于求积系数 利用 在节点 的埃尔米特插值 于是 即 4.4.2 Gauss公式的余项 两端乘 ，并由 到 积分，则得 （4.7） 其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故 由于 （4.8） 由积分中值定理得(4.1)的余项为 关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有： 定理 证明 它是 次多项式， 因而 是 次多项式， 注意到 高斯求积公式(4.1)的求积系数 全是正的.  考察 故高斯求积 公式(4.1)对于它能准确成立，即有 上式右端实际上即等于 从而有 推论 定理得证. 高斯求积公式(4.1)是稳定的. 在高斯求积公式(4.1)中， 由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此， 勒让德多项式 的零点就是求积公式(4.9)的高斯点. 形如(4.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 区间为 则得公式 若取权函数 （4.9） 令它对 准确成立，即可定出 这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为 是中矩形公式. 若取 的零点 做节点构造求积公式 再取 的两个零点 构造求积公式 令它对 都准确成立，有 由此解出 三点高斯-勒让德公式的形式是 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §4 Gauss公式 第四章 数值积分与数值微分