计算方法-4.2-4.4牛顿柯特斯求积公式要点.ppt

华长生制作 考察柯特斯系数 因此用牛顿-柯特斯公式计算积分的舍入误差主要由 其值可以精确给定 §4.3.3 牛顿-柯特斯公式的稳定性(舍入误差) * * 记 而理论值为 * * 牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的 * * 此时,公式的稳定性将无法保证 在实际应用中一般不使用高阶牛顿-柯特斯公式 * * 例: 用n=2和n=3的牛顿-柯特斯公式 解： 求 的近似值。 1.n=2时 2.n=3时 （ 的真实值为0.7668010） * * 思考 n=0时的Newton-Cotes公式称为 矩形公式，试求出该公式 P96 6、3、5 本节作业 直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会较大 当n8时，公式的舍入误差又很难得到控制 此时，使用复化方法， 然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这种方法称为复化求积法 4.4 复化求积公式 * * 各节点为 记为 4.4.1 复化求积公式 * * 由积分的区间可加性 复化求积公式 * * * * * * * * 4.2 数值积分 对于积分 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: 4.2.1 数值求积的基本思想 * * 以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法 * * 对于 ，若 则I对应于曲边梯形的面积。 * * 如果我们用两端点“高度” 与 的算术平均作为平均高度 的近似值，这样导出的求积公式 这就是我们熟悉的梯形公式 如果改用区间中点 的“高度” 近似地取代平均 高度 ，则又可以导出所谓中矩公式（简称矩形公式） * * 数值积分的基本思想：求解前三步，得到积分的近似值 从积分定义的分析中可看出：积分是和式的极限 ①分割：把曲边梯形分成若干小曲边梯形； ③求和：把分量加起来得到总近似值； ④取极限：求得积分的准确值。 ②近似：用矩形面积近似小曲边梯形； 求积分的基本方法是四步： * * 其几何意义是曲边梯形的面积。 式中 称为求积结点； 称为求积系数，亦称伴随结点 的权。这类数值积分方法通常称为机械求积。 * * 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。 -----(1) 定义1. 若求积公式 则称该求积公式具有m次的代数精度 * * 4.2.2 代数精度的概念 代数精度也称 代数精确度 不难验证，梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。 一般的要使机械求积公式具有m次代数精度，只要令它对于 都能准确成立，这就要求 * * * * -----(2) 例： * * * * 4.2.3 插值型的求积公式 且已知函数 在这些节点上的值，作插值函数 由于代数多项式 的原函数是容易求出的，我们取 积分数值计算的方法很多,但为方便起见,最常用的一种 方法是利用插值多项式来构造数值求积公式 具体步骤如下: * * 作为积分 的近似值，这样构造出来的 求积公式 称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 * * 由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项 式中 与变量 有关. 由插值型的求积公式的余项可推得 的求积公式至少有n次代数精度 定理1 形如 的充分必要条件是，它是插值型的. * * 4.2.4 求积公式的收敛性与稳定性 定义2 在机械求积公式中，若 其中 ，则称此求积公式是收敛的 定理2 若求积公式 中系数 则此求积公式是稳定的. * * 思考: * * 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高 4.3 等距节点求积公式 4.3.1 柯特斯系数 牛顿-柯特斯公式是指等距节点下使用拉格朗日插值 多项式建立的数值求积公式 各节点为 * * 因此对于定积分 而 * * 其中 有 * * 即有 n阶牛顿-柯特斯求积公式 牛顿-柯特斯公式的余项(误差) * * 注意是等距节点 * * 所以牛顿-柯特斯公式化为 * * §4.3.2 几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项 在牛顿-柯特斯公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也 最重要的三个公式,称为低阶公式 1.梯形公式及其余项 柯特斯系数为 * * 上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为 求积公式为 * * 梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替 曲边梯形的面积 梯形公式的余项为 * * 梯形公式具