牛顿–柯特斯公式.ppt

§2 牛顿—柯特斯公式 一、Newton-Cotes公式的导出 二、 Newton-Cotes公式的代数精度 所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。 上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，故积分值为0， 即： 所以2n阶N-C公式至少具有2n+1次代数精度。 三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项 证明： 这里被积函数中的因子(x－a)(x－b)在区间[a, b] 上不变号（非正），故由积分中值定理，在[a, b] 内至少存在一点?，使： 证明：在[a, b]区间上构造三次多项式H(x)，让H(x) 满足插值条 件（带导数插值）： 而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式 H(x) 应准确成立，即有： 其插值余项为： 因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： 四 复化求积公式 在实验计算中常用的就是以上三种低阶的N-C公式，但若积分区间比较大，直接使用这些求积公式，则精度难以保证；若增加节点，就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出，当n ? 8时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用高阶的公式，事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶N-C公式，为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导出复化求积公式。 1、复化梯形公式 2、复化辛普森公式 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以证明，当n ? ?时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。 xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xi) 1 0.9973978 … … … … … … … … … 0.8414709 若用复化求积公式计算积分: 的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？ 例2 [解] 因为当0≤x≤1时有0.3e-1≤e-x≤1于是： 要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过10-4 / 2。又因为: 因此若用复化梯形公式求积分，n应等于41才能达到精度。 由复化梯形公式误差估计式： 若用复化Simpson公式 即得n ?1.6。故应取n = 2。 [a, b]分成n 等分，分点为： 在每个小区间： 上，共三个点： 所以这里在[0, 1]上实际上共有5个分点。 注意这里是将区间 例2的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化Simpson公式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化Simpson公式的精度较高，实际计算时多采用复化Simpson公式。 复化求积方法又称为定步长方法，要应用复化求积公式，必须根据预先给定的精度估计出合适的步长或n，进而确定对积分区间的等分数，如同例2一样。然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ * *