《上海交大数值分析课件数值分析4-2牛顿—柯特斯公式》课件.ppt

第四章 数值积分与数值微分 §2 牛顿—柯特斯公式 一、牛顿—柯特斯公式 二、偶阶求积公式的代数精度 三、几种低阶求积公式的余项 四、举例 一、牛顿—柯特斯公式 1. 牛顿—柯特斯公式 对于机械求积公式 将积分区间[a,b]划分为n等分，步长 选取等距节点 构造出的插值型求积公式 称作Newton-Cotes公式 柯特斯系数 2. 柯特斯系数的计算 由插值型求积公式可知 所以 引入变量变换 则 于是有 ( ) 即柯特斯系数的计算公式 当n=1时， 故一阶的牛顿—柯特斯公式为 梯形公式 当n=2时， 故二阶的牛顿—柯特斯公式为 辛甫生(Simpson)公式 而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为 这里 特别称为 柯特斯(Cotes)公式 注：其余柯特斯系数详见书上表4-1. 二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度 实际的代数精度 到底是多少？ 作为插值型的求积公式，n阶牛顿—柯特斯公式至少具有n次代数精度，那么 两种特殊偶阶求积公式的代数精度 辛甫生(Simpson)公式 首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数精度，进一步当 f(x)=x3时， 而 这时有S=I 即辛甫生公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立， 又容易验证它对 f(x)=x4 是不准 确的，因此，二阶辛甫生公式实际上具有三次代数精度。 对四阶柯特斯公式进行检验发现： 四阶柯特斯公式实际上具有五次代数精度。 这不是偶然，一般地，有下面的定理。 偶数求积公式的代数精度 定理 当n为偶数时，牛顿—柯特斯公式至少有n+1次代数精度。 注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积公式。 三、几种低阶求积公式的余项 利用数值求积公式的余项公式 1. 求梯形公式的余项 2. 求辛甫生公式的余项 辛甫生公式 3. 柯特斯公式的余项 四、举例 试分别使用梯形公式和辛甫生公式计算积分 的近似值，并估计余项。 解 用梯形公式计算 余项 所以 余项为 用辛甫生公式计算 余项 所以 余项为 作业 (P1３５) 习题 3，4,5 谢谢！