《上海交大数值分析课件数值分析5-5》课件.ppt

一、矩阵的条件数 第五章 解线性方程组的直接法 §5 误差分析 二、误差分析 一、矩阵的条件数 1. 方程组的性态 一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会有误差，即有扰动，从而使计算结果产生误差，因此需要研究扰动对解的影响。 容易看出 的精确解为 而方程组 的精确解为 微小差别 相差很大 定义：当一个方程组，由于系数矩阵 A 或右端常数 项 b 的微小变化，引起方程组Ax=b解的巨大 变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵A 称为“病态”矩阵，否则称方程组为“良态”方程 组，A为“良态”矩阵. 那么性态和什么有关呢？如何刻划“病态”的程度呢？ 假设：方程组为 Ax=b，其中A非奇异，x为精确解. 2. 方程组b的微小误差对解的影响 现设A是精确的，b 有误差δb，解为 x +δx，则 所以 故 又因为 可得 即 则有 (b≠0) 定理： 设A是非奇异阵，Ax=b ≠0，且 则 注： 本定理给出了解的相对误差的上界，常数项b 的相对误差在解中可能放大||A-1|| ||A||倍。 即 定理： 设A是非奇异阵，Ax=b ≠0，且 若||A-1|| ||δA||1，则 注： 本定理给出了解的相对误差的上界，系数矩阵A 的相对误差的传播与||A-1|| ||A||有关。 4. 矩阵的条件数 定义：设A为非奇异阵，称 cond(A)v=||A-1||v||A||v (v =1, 2, ∞) 为矩阵A的条件数 注： (1) 矩阵的条件数与范数有关. (2) 当引入矩阵A的条件数后，系数误差对解的影响 可重新写为： 则系数矩阵A的条件数刻划了方程组的“病态”程度。条件数愈大，方程组的“病态”程度愈大，也就愈难得到方程组的比较准确的解；当矩阵A的条件数相对地小，则方程组是“良态”的。 例1：考察 的性态. 解：方程组的系数矩阵为 于是 则 条件数很大，所以方程组是“病态”的 例2： 已知Hilbert矩阵如下，计算H3和H6的条件数. 解： 故||H3||∞=11/6， ||H3|∞=408， 所以Cond(H3)∞=748， 同理可得Cond(H6)∞=2.9×106 一般Hn矩阵当n愈大，“病态”愈严重 例3： 考虑方程组 H3x = (11/6, 13/12, 47/60)T = b, （*1） 简记为 (H3+δH3)(x + δx) = b +δb 设H3及b有微小误差（取3位有效数字）有 （*2） 那么方程组(*1)与(*2)的解相差多少呢？ 方程组（*1）与（*2）的精确解为 x = (1, 1, 1)T x +δx = (1.089512538, 0.487967062, 1.491002798)T 于是 这就是说H3与b相对误差不超过0.3%，而引起解的相对误差超过50%！ 二、误差分析 设 x* 为方程组 Ax=b 的近似解，检验精度的一个简单方法是将x*代入方程组求得剩余向量(余量) r = b －Ax*，那么是否可以认为 如果||r||很小，则解x*比较准确。 定理： 设A是非奇异矩阵，x和x*分别是方程 组Ax=b的准确解和近似解，r=b-Ax*， 则 证明: (请同学们自学！) 思考题答案： 对非病态方程组，可以认为||r||很小，误差就很小， 但对病态方程组，从定理可看出，当病态严重时， 即使余量很小，解的相对误差仍可能很大! 例如方程组 的准确解为 x1=2，x2=0。 若以x1=1，x2=1作为近似解，其余量为 r = (2, 2)T －(2, 2.00001)T = (0, -0.00001)T 很小，但解的误差 x－x* = (2, 0)T －(1, 1)T = (1, -1)T 却不小！ 作业： 习题 18，19 谢谢！