《上海交大数值分析课件数值分析4-3》课件.ppt

第四章 数值积分与数值微分 §3 复化求积公式 一、复化求积法的思想 二、几种特殊的复化求积公式 三、例题 一、复化求积法的思想 前面已经指出高阶牛顿—柯特斯公式 是不稳定的，因此不能用提高阶的方法来 提高求积精度。 为了提高精度通常可把积分区间分成 若干子区间，再在每个子区间上用低阶求 积公式。这种方法称为复化求积法。 与插值多项式类似 定义：复化求积法 设将积分区间[a, b]划分为n等分，步长 ，分点为 复化求积法就是先用低阶的牛顿—柯特斯公式 求得每个子区间[xk, xk+1]上的积分值 Ik，然后 再求和，用 作为所求积分I的近似值。 即 二、几种特殊的复化求积公式 根据在每个小区间上所用低阶求积公式的不 同，复化求积公式有如下三种： 1. 复化梯形公式 2. 复化辛甫生公式 3. 复化柯特斯公式 1. 复化梯形公式 每个小区间[xk，xk+1]上梯形公式是 整个区间上的复化梯形公式是 即 下面求复化梯形公式的积分余项 由于 且 故存在 使 所以复化梯形公式的积分余项为 即 2. 复化辛甫生公式 记每个小区间[xk，xk+1]的中点为 该小区间上的辛甫生公式为 整个区间上的复化辛甫生公式是 且积分余项为 3. 复化柯特斯公式 如果将每个小区间[xk，xk+1]四等分，内分点 依次记为 则相应地可得复化柯特斯公式。 且复化柯特斯公式的积分余项为 注： 其它牛顿—柯特斯公式亦可用类似的手续加 以复化。显然，复化的牛顿—柯特斯公式仍 然是机械求积公式。 举例 对于函数 ， 试利用下表计算积分 x f(x) 0 1 1/8 0.9973978 1/4 0.9896158 3/8 0.9767267 1/2 0.9588510 5/8 0.9361556 3/4 0.9088516 7/8 0.8771925 1 0.8414709 解 将积分区间[0,1]划分为8等分，应用复化梯形公式 三、例题 将积分区间[0,1]划分为4等分，应用复化辛甫生公式求得 积分准确值 I = 0.9460831 复化辛甫生公式精度优于复化梯形公式 比较上面两个结果T8与S4，它们都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却相差很大， 举例 如果用复化梯形公式计算积分 的 近似值，并要求余项满足 则至少要把区间[1，2]分为多少等份？ 解 对于 ，已知 根据复化梯形公式的余项公式，应有 由此解得 所以 即至少要把区间[1，2]分为79等份。 对本例题的进一步思考：h如何给出？ 前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用前必须给出合适的步长h，如何给出？ h太小则计算量增加 h太大则精度不满足 采用变步长 的计算方案 作业： 习题 6，7 谢谢！