《概率论》第三章§3.4随机变量函数的分布.ppt

严格单调增 (或单调减) 严格单调函数其反 函数一定存在,且反函数也严格单调 Cauchy分布 其反函数为 ,其反函数分别为 且 称为卷积公式,记为 卷积公式的应用 例3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布. 解： 所以 Z = X+ Y  N(0, 2). 进一步的结论见后 分布的可加性 若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性. 二项分布的可加性 若 X  b(n1, p)，Y  b(n2, p)， 注意：若 Xi  b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + …… + Xn  b(n, p). 且独立， 则 Z = X+ Y  b(n1+n2, p). 泊松分布的可加性 若 X  P(1) ，Y  P(2)， 注意： X Y 不服从泊松分布. 且独立， 则 Z = X+ Y  P(1+2). 正态分布的可加性 若 X  N( )，Y  N( ) ， 注意： X Y 不服从 N( ). 且独立， 则 Z = X  Y  N( ). X Y  N( ). 独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下) 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 Xi ~ N(i, i2), i =1, 2, ... n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ..., an 不全为零, 则 伽玛分布的可加性 若 X  Ga(1, )，Y  Ga(2, ) ， 注意： X Y 不服从 Ga(12,  ). 且独立， 则 Z = X + Y  Ga(1+2,  ). 2 分布的可加性 若 X  2( n1 )，Y  2( n2 ) ， 注意： (1) X Y 不服从 2 分布. 且独立， 则 Z = X + Y  2( n1+n2). (2) 若 Xi  N(0, 1)，且独立，则 Z =  2( n ). 注 意 点 (1) 独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布. (2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布. 例3.3.3 设 X 与 Y 独立，X～U(0, 1), Y～Exp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数. 解: 被积函数的非零区域为： 0x1 且 zx0 用卷积公式： (见下图) x z 1 z = x 因此有 (1) z 0 时 pZ(z) = 0 ; (2) 0 z 1 时 pZ(z) = (3) 1 z 时 pZ(z) = 1 由独立性及卷积公式有 则 两个部件的工作状态是相互独立的,概率密度均为 由卷积公式有 被积函数的非零区域是 设法导出递推公式，然后用归纳法证明 (瑞利Rayleigh分布) ,则 则 体育馆的大屏幕由信号处理机和显示屏构成， 信号处理机和显示屏构成串联系统,故整个 系统的寿命为 密度函数 小结： 六个常用分布： (0-1)分布，二项分布b(n, p)，Poisson分布P(λ) 均匀分布U(a, b)，指数分布E(θ)，正态分布N(μ,σ2) 一个方法： 求随机变量函数的分布 六个概念： 离散型，连续型 定义，充要条件，性质 联合分布，边缘分布， 条件分布 分布律，边缘分布律， 条件分布律 密度，边缘密度， 条件密度 习题： 28、32