概率论练习题第三章 多维随机变量及其分布考研试题及答案.doc

2021年最新 PAGE 1 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 ０ １ 1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量具有同一分布律，且的分布律为 则随机变量的分布律为 . 【解题分析】首先要根据的定义确定的取值范围,然后求取值的概率即可. 解:　由于仅取0、1两个数值，故也仅取0和1两个数值，因相互独立，故　 的分布律为 ０ １ 2．（2003年数学一）设二维随机变量的概率密度为 则= . 【解题分析】利用求解. 解: 如图10-5所示 图10-5 ． 二、选择题 1.(1990年数学三)设随机变量和相互独立,其概率分布律为 －１ １ －１ １ 则下列式子正确的是（　　）． ． ． ． ． 【解题分析】乍看似乎答案是,理由是和同分布,但这是错误的,因为,若,说明取什么值时, 也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算即可. 解: 由和相互独立知 所以,正确答案是. 2.(1999年数学三)设随机变量,且满足则等于（　　）． ．0； ．； ．； ．1. 【解题分析】本题应从所给条件出发,找出随机变量的联合分布. －1 ０ １ －１ ０ １ 解:　设随机变量的联合分布为　 　 由 知　 从而有　, 类似地　 进一步可知　 即　 因此有正确答案是. 3.(1999年数学四)假设随机变量服从指数分布,则随机变量的分布函数（　　）． ．是连续函数； ．至少有两个间断点； ．是阶梯函数； ．恰好有一个间断点. 【解题分析】从公式 出发求解即可. 解:　由题设 令则 于是的分布函数为 可见其仅有一个间断点正确答案是. 4.(2002年数学四)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则 ．必为某一随机变量的分布密度； ．必为某一随机变量的分布函数； ．必为某一随机变量的分布函数； .必为某一随机变量的分布密度． 解:　由于若随机变量与相互独立，它们的分布函数分别为与，则的分布函数为，可知必为某一随机变量的分布函数.故选择. 注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解. 三、计算与证明题 1.(1994年数学三)假设随机变量相互独立,且同分布,求行列式的概率分布. 【解题分析】由阶行列式表示,仍是一随机变量,且,由于独立同分布, 故与也是独立同分布的,因此可先求出和的分布律,再求的分布律. 解:　记,,则.随机变量和独立同分布: . . 随机变量有三个可能值-1,0,1.易见 于是 ． 2．(2003年数学三)设随机变量与独立,其中的概率分布律为,而的分布密度为,求随机变量的分布密度. 【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据的不同取值,利用全概率公式来求解. 解:　设为分布函数,则由全概率公式及与的独立性可知,的分布函数为 , 由此得 3.(2006年数学四) 设二维随机变量的概率分布律为 X Y -1 0 1 -1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中为常数,且的数学期望, ,记.求 (1) 的值;(2)的概率分布;(3) 【解题分析】要求的值，只需要找到三个含有的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求的概率分布，首先要弄清楚的可能取值，由的取值可知，的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求取值的概率；要求，只需要转化为求关于的概率，由，既可得出结论. 解:　(1)由概率分布的性质知,, 即 ． 由 ,可得 ． 再由 ， 得 . 解以上关于的三个方程得 . (2) 的可能取值为-2，-1，0，1，2, ， ， ， ． 即的概率分布律为 -2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) =. 4.(1987年数学一)设随机变量相互独立,其概率密度函数分别为 求的概率密度函数. 【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量()的联合概率分布密度函数,再计算的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解. 解:　方法１ 由于随机变量相互独立,所以二维随机变量()的概率分布密度函数为 因此,随机变量的分布函数为 所以,随机变量的分布密度函数为 方法２ 由于随机变量相互独立,所以,由卷积公式知,随机变量的密度函数为 = = 5.(1999年数学四)设二维随机变量()在矩形上服从均匀分布,试求边长为和的矩形面积的概率分布密度函数. 【解题分析】由