核按钮2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用 2.4 二次函数习题 理.doc

§2.4　二次函数 1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝ (a≠0)；(3)零点式：f(x)＝ (a≠0)．二次函数的图象与性质二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x＝；(2)顶点坐标：；(3)开口方向：a＞0时开口＜0时开口；4)值域：a＞0时＜0时；(5)单调性：a＞0时(x)在上是减函数在上是增函数；a＜0时(x)在上在上是_____________．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax＋bx＋c＝0的________ax2＋bx＋c≥0(或ax＋bx＋c≤0)解集的________．4．二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的________或二次函数的________处取得可分别求值再比较大小最后确定最值．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设xax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根则x的分布范围与系数之间的关系如表所示.根的分布 (m＜n＜p且m n，p均为常数)　图象满足的条件x1＜x＜m ① m＜x＜x ② x1＜m＜x ③f(m)0. m＜x＜x＜n ④ ＜x＜n＜x＜p ⑤ ＝x ⑥ 只有一根在区间(m)内 ⑦ f(m)·f(n)0.自查自纠(1)ax2＋bx＋c　(2)a(x－h)＋k　(3)a(x－x)(x－x) 2．(1)－　(2)　(3)向上　向下(4)　(5)　　增函数　减函数根　端点值4．端点　顶点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 已知函数f(x)＝x－2x＋3在区间[0]上有最大值3最小值2则m的取值范围是(　　)[1，＋∞) ．[0] C．(－∞] D．[1] 解：由题可知f(0)＝3(1)＝2(2)＝3结合图象可知故选 f(x)是二次函数且f′(x)＝2x＋2若方程f(x)＝0有两个f(x)的解析式为(　　)(x)＝x＋2x＋4 ．(x)＝2x＋2x＋1f(x)＝x＋x＋1 ．(x)＝x＋2x＋1解：设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)．(x)＝2ax＋b＝1＝2(x)＝x＋2x＋c.＝4－4c＝0＝1故f(x)＝x＋2x＋1.故选 已知二次函数y＝ax＋bx＋c满足abc且＋＋c＝0那么它的图象可能是下图中的(　　) 解：∵abc且a＋b＋c＝0－4ac0图象开口向上在y轴上截距为负且过(1)点．故选 已知二次函数y＝f(x)满足f(0)＝f(2)若x是方程f(x)＝0的两个实根则x＋x＝________.解：∵f(0)＝f(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称＋＝2×1＝2.故填2. 已知函数fx)＝x＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3且(x)≥x恒成立则a＋b＝________.解：f(3)＝3则9＋3(a＋1)＋b＝3即b＝－3a－9.(x)≥x恒成立即x＋(a＋1)x＋b－x≥0恒成立．＋ax＋b≥0恒成立－4b≤0将b＝－3a－9代入得(a＋6)＝－6.∴b＝9＋b＝3.故填3. 类型一　求二次函数的解析式　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, (－1)＝－1且f(x)的最大值是8试确定此二次函数的解析式．解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)由题意得解之得所求二次函数为y＝－4x＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)(2)＝f(－1)抛物线对称轴为x＝＝＝又根据题意函数有最大值为8＝8(x)＝a＋8.(2)＝－1即a＋8＝－1.解之得a＝－4.(x)＝－4＋8＝－4x＋4x＋7.解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x＝2＝－1即g(x)＝(x)＋1的两个零点为2－1故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)即f(x)＝ax－ax－2a－1.又函数有最大值y＝8即＝8解之得a＝－4所求函数解析式为f(x)＝－4x＋4x－2×(－4)－1＝－4x＋4x＋7.由条件f(2)＝(－1)及f(x)的最8，根据对称性知其对称轴为x＝故此题利用顶点式较为简捷．如果把2－1看作函数(x)＝f(x)＋1的两个零点利用零点式求(x)的解析式再求f(x)的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．　已知y＝f(x)是二次函数且f＝对x∈恒成立＝49方程f(x)＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式．解：由x∈＝f知(x)的x＝－又f＝49则二次函数f(x)的顶点坐标为故设f(x)＝a＋49(a≠0)．解法