核按钮2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用 2.2 函数的单调性与最大（小）值习题 理.doc

§2.2　函数的单调性与最大(小)值 1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x当x＜x时都有f(xf(x2)，那么就说函数(x)在区间D上是．如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x当x＜x时都有f(x)＞f(x)，那么就说函数(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)区间D叫做y＝f(x)的．函数的最值(1)最大值一般地设函数y＝f(x)的定义域为I如果存在实数M满足：对于任意的x∈I都有；存在x使得．那么我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地设函数y＝f(x)的定义域为I如果存在实数N满足：对于任意的x∈I都有；存在x使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠 ．(1)①任意两个　增函数　②任意两个　减函数(2)单调性　单调区间(1)①f(x)≤M　②f(x)＝M(2)①f(x)≥N　②f(x)＝N 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ()下列函数中定义域是且为增函数的是(　　)＝－x＝x＝＝|x|解：由所给选项知只有y＝x的定义域是且为增函数．故选 若函数y＝ax＋1在[1]上的最大值与最小值的差为2则实数a的值是(　　)－2或－2 ．解：当a0时由题意得2a＋1－(a＋1)＝2即a＝2；当时＋1－(2a＋1)＝2即a＝－2所以a＝±2.故选 ()设函数f(x)＝(1＋x)－(1－x)则(x)是(　　)奇函数且在(0)上是增函数奇函数且在(0)上是减函数偶函数且在(0)上是增函数偶函数且在(0)上是减函数解：f(x)的定义域为(－1)，关于原点对称．又(－x)＝(1－x)－(1＋x)＝－f(x)故f(x)为奇函数．显然(x)在(01)上单调递增．故选 ()函数f(x)＝(x2－4)的单调递增区间为________．解：函数y＝f(x)的定义域为(－∞－2)∪(2＋∞)因为函数y＝f(x)由y＝t与t＝g(x)＝x－4复合而成又＝t在(0＋∞)上单调递减(x)在(－∞－2)上单调递减所以函数y＝f(x)在(－∞－2)上单调递增．故填(－∞－2)． 设a为常数函f(x)＝x－4x＋3.若f在上是增函数则a的取值范围是_______．解：∵f(x)＝x－4x＋3＝－1＝－1且当x∈时函数(x＋a)单调递增因此2－a≤0即a≥2.故填[2＋∞)． 类型一　判断函数的单调性求函数的单调区间　(1)()y＝－x＋2|x|＋3；＝1－；＝(x2－4x＋3)．解：①依题意可得当x≥0时＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4；当x＜0时＝－x－2x＋3＝－(x＋1)＋4.由二次函数的图象知函数y＝－x＋2|x|＋3在(－∞－1][0，1]上是增函数在[－1]，[1，＋∞)上是减函数．故＝－x＋2|x|＋3的单调增区间为(－∞－1]和[0]；单调减区间为[－1]和[1＋∞)．由x－3x＋2≥0得x≥2或x≤1设u＝x－3x＋2则y＝1－当x∈(－∞]时为减函数当x∈[2＋∞)时为增函数而u≥0时＝1－为减函数．＝1－的单调增区间为(－∞]，单调减区间为[2＋∞)．令u＝x－4x＋30得x1或x3.函数y＝(x2－4x＋3)的定义域为(－∞)∪(3，＋∞)．又u＝x－4x＋3的图象的对称轴为x＝2且开口向上＝x－4x＋3在(－∞)上是减函数在(3＋∞)上是增函数．而函数y＝u在(0＋∞)上是减函数＝(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3＋∞)单调递增区间为(－∞)．(2)判断函数f(x)＝x＋(a0)在(0＋∞)上的单调性．解法一：设0x则f(x)－f(x)＝－＝(x－a)．当0x时又x－x所以f(x)－f(x)0，即f(x)f(x2)， 所以函数f(x)在(0]上是减函数；当＜x时又x－x故f(x)－fx2)0，即f(x)f(x2)， 故函数f(x)在(＋∞)上是增函数．综上可知函数f(x)＝x＋(a0)在(0]上是减函数在(＋∞)上是增函数．解法二：求导可得f′(x)＝1－令f′(x)＞0则1－＞0解得x＞或x＜－(舍)．令f′(x)≤0则1－解得－. ∵x＞0＜x≤(x)在(0]上是减函数；在(＋∞)上是增函数．求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．　(1)函数y＝的递减区间为__________． 解：作出t＝2x－3x＋1的图象如图1，∴y＝单调递减．要使y＝递减只要.故填(2