2019届高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.2 函数的单调性与最大（小）值学案 理 北师大版.doc

§2.2　函数的单调性与最值 最新考纲 考情考向分析 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题. 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间． 2．函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M； (2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M (3)存在x0∈D，使得f(x0)＝M； (4)对于任意x∈D，都有f(x)≥M 结论 M为最大值 M为最小值 知识拓展 函数单调性的常用结论 (1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，0f(x)在D上是增加的，0f(x)在D上是减少的． (2)对勾函数y＝x＋(a0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，递减区间为[－，0)和(0，]． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　×　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (3)函数y＝的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　√　) 题组二　教材改编 2．函数f(x)＝x2－2x的递增区间是____________． 答案　[1，＋∞)(或(1，＋∞)) 3．函数y＝在[2,3]上的最大值是________． 答案　2 4．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　由题意知，[2，＋∞)[m，＋∞)，∴m≤2. 题组三　易错自纠 5．函数y＝(x2－4)的递减区间为________． 答案　(2，＋∞) 6．若函数f(x)＝|2x＋a|的递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________． 答案　－6 解析　由图像(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的递增区间是，令－＝3，得a＝－6. 7．函数f(x)＝的最大值为________． 答案　2 解析　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2. 题型一　确定函数的单调性(区间) 命题点1　给出具体解析式的函数的单调性 典例 (1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　D 解析　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2. 设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数． 要求函数f(x)的递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的递增区间． ∵函数t＝x2－2x－8的递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的递增区间为(4，＋∞)． 故选D. (2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的递减区间是__________________________________． 答案　[－1,0]，[1，＋∞) 解析　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 二次函数的图像如图． 由图像可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 命题点2　解析式含参数的函数的单调性 典例 判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性． 解　函数f(x)＝ax2＋(1a3)在[1,2]上是增加的． 证明：设1≤x1＜x2≤2，则 f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－ ＝(x2－x1)， 由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4， 1＜x1x