2019届高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.5 指数与指数函数学案 理 北师大版.doc

§2.5　指数与指数函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象． 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度. 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a0，m，n∈N＋，且n1)．于是，在条件a0，m，n∈N＋，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝ (a0，m，n∈N＋，且n1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q. 2．指数函数的图像与性质 y＝ax a1 0a1 图像 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x0时，y1；当x0时，0y1 (5)当x0时，0y1；当x0时，y1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 知识拓展 1．指数函数图像的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 2.指数函数的图像与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图像越高，底数越大． 3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)＝()n＝a(n∈N＋)．(　×　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　×　) (5)函数y＝2－x在R上为减函数．(　√　) 题组二　教材改编 2．化简(x＜0，y＜0)＝ . 答案　－2x2y 3．若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图像经过点P，则f(－1)＝ . 答案　 解析　由题意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝. 4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 ． 答案　cba 解析　∵y＝x是减函数， ∴ 即ab1， 又c＝0＝1， ∴cba. 题组三　易错自纠 5．计算：×0＋×－＝ . 答案　2 解析　原式＝×1＋×－＝2. 6．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是 ． 答案　(－，－1)∪(1，) 解析　由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2， 得－＜a＜－1或1＜a＜. 7．已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为 ． 答案　或 解析　当0a1时，a－a2＝， ∴a＝或a＝0(舍去)． 当a1时，a2－a＝， ∴a＝或a＝0(舍去)． 综上所述，a＝或. 题型一　指数幂的运算 1．化简· (a0，b0)＝ . 答案　 解析　原式＝2×＝21＋3×10－1＝. 2．计算：＋－10(－2)－1＋π0＝ . 答案　－ 解析　原式＝－2＋－＋1， ＝＋10－10－20＋1＝－. 3．(2017·兰州模拟)化简：×(a0)＝ . 答案　a2 解析　原式＝ ＝a2. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二　指数函数的图像及应用 典例 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是(　　) 答案　A 解析　f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图像只有A. (2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2－a＜2c D．