第五章数值积分.ppt

即有 类似地可验证 一般地有 * 记 二、龙贝格求积公式 称此公式为龙贝格求积公式。 由上节知 * 龙贝格求积步骤: 1.计算 和 算出 2.计算 算出 和 3.计算 和 算出 和 4.计算 和 算出 5.算出 重复以上过程,算出 直到相邻两个R值差的 绝对值不超过给定的误差 最后一个R值即为所求. * 例1. 用龙贝格方法计算积分 要求准确到小数点后第五位。 解: * 亊实上 * 的年表 1.古代常取 圣经中,埃及人取 2.希腊阿基米德(公元前287—212)于公元前240年用圆内接、 外切正6、12、24、48、96边形得到 3.大约公元150年希腊托勒玫算得 4.刘徽--公元三世纪人，撰写《九章算术注》，创割圆术， 从正6边形至192边形，园周率 （徽率） 5.祖冲之（父）、 祖日 恒。（音：选）（子） 历法世家（公元429—500） 原始著作《缀术》已失传。 * 6.1429年伊朗阿尔.卡西(16位) 以上都是古典算法--圆内接外切多边形算法. 8.1579年法国数学家韦达 (1)393216边形，计算园周率准确到小数点后第9位. (2)利用公式 7.16世纪德国数学家鲁道夫算到小数点后35位，他的墓碑上刻着： （三十五位） 9.1650年英国数学家约翰创公式： * 10.1674年莱布尼兹创公式 * 令 11.1719年法国代.拉尼算至112位. 13.1947年英国小伦奇算至808位. 12.1853年英国卢瑟福算至400位. 电子计算机时代 * 14.1949年马利兰德算至2037位. 16.1981年日本筑波大学鹿角理三吉,和久仲山算至200万位. 15.1973年日本吉劳算至100万位. 17.1986年贝利算至2936万位. 18.同年东京大学廉正蒲田算至1(亿)3421(万)7700位. 上世纪末,中国科学报导:中国科学院计算所算至几百亿位. 第五章 数值积分 §5.1 引言 则 称为牛顿——莱布尼兹公式. 但在下列情况下，这个求积公式用不上。 表示出来；（这些函数称为积不出来的函数） 等函数的原函数不能用初等函数 1. 表格函数不能写出原函数来。 因此有必要讨论数值积分。 若 * §5.2 牛顿——柯特斯型求积公式 一. 牛顿——柯特斯型求积公式 设 在 上有 * 记 （2）称为插值求积公式。 注意: 仅与积分区间 和节点 有关, 而与 无关. * 即 令 设 是等距节点, * 记 则 于是 （3） 注意：数组 （3）称为牛顿——柯特斯型求积公式, 仅与n有关,与 节点坐标和 无关. 称为柯特斯系数. * 于是 上式称为梯形公式。其几何意义如下图 曲边梯形面积近似 用梯形面积代替 二、 梯形公式及其余项 对应函数值为 节点 * 讨论余项 设 * 相应函数值 于是 上式称为辛卜生公式。（抛物线公式），其余项 三、辛卜生（抛物线）公式及其余项 * 其余项 解:（1）利用梯形公式计算 四、柯特斯公式 例1:设 计算 * （2）利用辛卜生公式计算 （3）利用牛顿-莱布尼兹公式直接积分 辛卜生公式余项为零,故计算得到准确值. * 解: 用梯形公式计算: 所以 例2:试分别使用梯形公式和辛卜生公式计算积分 的近似值,并估计截断误差. 又 误差估计为 * 用辛卜生公式计算: 误差估计为 又 * 时,柯特斯系数和求积公式余项列表如表6-1. 在 中,令 即得 * §5.3 复合求积公式 一、引言 1. 余项中含高阶导数，估计余项困难； 2. 舍入误差大。 高阶牛顿－柯特斯求积公式的缺点： 设 用公式 计算积分时， 有误差 (见P.138) * (1)当 时, 全为正, (2)当 时, 有正有负, 假设 且 与 符号全相同(或全相反), 则 可能很大,且不好估计,因此采用复合求积公式. ----将 等分成若干份,在每个小份上,使用低阶 牛顿-柯特斯公式求积,然后相加. * 于是 （1） 二、复合梯形公式 是 个等距节点, 设 则存在 于是 当 时, (1)右式 * 设有等距节点 于是 （2） 三、复合辛卜生公式 在 上使用辛卜生公式: 当 时, (2)右式 * 同理可得复合柯特斯公式 * 例1. 用梯形公式.辛卜生公式和柯特斯公式计算积分 的近似值，要求按辛卜生公式计算时，误差不超过 解：首先根据精度要求确定步长,也即确定步数n, 即要根据 确定步数 n. 先估计 中的 的大小, (微分和积分次序可交换定理) * 计算结果如下: 取n=4即可. 将[0,1]等分成2n=8份, (梯形公式) (辛卜生公式) (柯特斯公式) 查表可得 * 误差估计: 例2.用11个节点的复合辛卜生公式计算积分 节点为 的近似值,并估计误差. 解 注: * 计算 计算积分时,将区间逐次分半进行,利用前后两次计算结果 1