曾谨言 量子力学第一卷 习题答案解析9第九章.pdf

第九章：定态微扰论 [1]设非简谐振子的哈密顿量为： 2 2 ˆ ℏ d 1 2 2 （β为常数） H= − + µω x 2 0 2µ dx 2 ˆ h d2 1 2 2 2 取 H = − + µω x ， ′ ，试用定态微扰论求其能量及能量本征函 0 2 0 H = βx 2µ dx 2 数。 (1) （解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章§9.1公式∑k =Wkk ， 从§3.3知道一维谐振子波函数是： 2 2 α x α − ψ (x) = e 2 H (αx) ， k k k π2 ⋅ k! µω 但α = （1） ℏ (1) * 3 E = ψ (βx )ψ dx k ∫ k k x （2） x=∞ α 2 2 3 −α x 2 = βx e H (αx)dx k ∫ k π2 k! x=−∞ 但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而 2 必 H (αx) n 定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有： (1) E = 0 k 一级波函数修正值：据§9.1公式[12b] H/ 0 / nk (0) ψ =ψ + ψ （3） k k ∑ (0) (0) n E − E k n 1 (0) / E = (k+ )ℏω