概率论与数理统计答案第六章.doc

第六章 样本及抽样分布 1.[一] 在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。 解： 2.[二] 在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}. （3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}. 解：（1） = （2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15} = （3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10} = 4.[四] 设X1，X2…，X10为N（0，0.32）的一个样本，求 解： 7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π (λ )的一个样本，，S2分别为样本均值和样本方差，求E (), D (), E (S 2 ). 解：由X~π (λ )知E (X )= λ ， ∴E ()=E (X )= λ, D ()= [六] 设总体X~b (1,p)，n是来自X的样本。 （1）求的分布律； （2）求的分布律； （3）求E (), D (), E (S 2 ). 解：（1）（X1，…，Xn）的分布律为 = （2） (由第三章习题26[二十七]知) （3）E ()=E (X )=P， [八]设总体X~N（μ，σ2），X1，…，X10是来自X的样本。 （1）写出X1，…，X10的联合概率密度（2）写出的概率密度。 解：（1）(X1，…，X10)的联合概率密度为 （2）由第六章定理一知 ～ 即的概率密度为 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。 解：μ，σ2的矩估计是 。 2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1） 其中c0为已知，θ1，θ为未知参数。 （2） 其中θ0，θ为未知参数。 （5）为未知参数。 解：（1），得 （2） （5）E (X) = mp 令mp = ， 解得 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 （解唯一故为极大似然估计量） （2） 。(解唯一)故为极大似然估计量。 （5）， 解得 ，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，=为矩估计量。 （2）极大似然估计， 为极大似然估计量。 （其中 5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样品中属石灰石的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 观察到石灰石的样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0 解：λ的极大似然估计值为==0.499 [四(1)] 设总体X具有分布律 X 1 2 3 Pk θ2 2θ(1－θ) (1－θ) 2 其中θ(0θ1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。 解：（1）求θ的矩估计值 则得到θ的矩估计值为 （2）求θ的最大似然估计值 似然函数 ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ) 求导 得到唯一解为 8．[九(1)] 设总体X ~N（μ，σ 2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。 解：由于 = 当。 [十] 设X1，X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量 （1）指出T1，T2， T3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。 解：（1）由于