概率论与数理统计总结之第六章.doc

第六章 样本及抽样分布 总体与个体： 我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体 设X是具有分布函数F的随机变量，若…是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称…为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值…称为样本值，又称为X的n个独立的观察值 由定义得：若…为F的一个样本，则…相互独立，且它们的分布函数都是F，所以（…）的分布函数为 … 又若X具有概率密度f，则（…）的概率密度为 … 设…是来自总体X的一个样本，g(…)是…的函数，若g中不含未知参数，则称g(…)是一统计量 设…是来自总体X的一个样本，是这一样本的观察值，定义： 样本平均值 样本方差 样本标准差 样本k阶（原点）矩 … 样本k阶中心矩 … 经验分布函数 设…是总体F的一个样本，用表示…中不大于x的随机变量的个数。定义经验分布函数为 一般，设…是总体F的一个容量为n的样本值，先将…按自小到大的次序排列，并重新编号，设为…， 则经验分布函数的观察值为 0，若 k/n,若 1，若 统计量的分布称为抽样分布 几个常用的统计量的分布： 分布 设…是来自总体N（0-1）的样本，则称统计量…服从自由度为n的分布，记为～，自由度是指上式右端包含的独立变量的个数 分布的概率密度为 0，其它 若…相互独立，且服从参数为…的分布，则…服从参数为的分布，这一性质称为分布的可加性 分布的性质： 1）分布的可加性 设～～并且独立，则有～ 2）分布的数学期望和方差 若～，则有 证明：事实上，因～N(0,1)，故 于是 3）分布的分位点 对于给定的正数ɑ，0ɑ1,称满足条件 的点为分布的上ɑ分位点 t分布 设X～N(0,1),Y～,且X,Y独立，则称随机变量， 服从自由度为n的t分布，记为t～t(n) t分布又称学生氏分布 t(n)分布的概率密度函数为 利用函数的性质可得， 故当n足够大时t分布近似于N（0,1）分布，但相对于较小的n,t分布于N(0，1)分布相差较大 t分布的分位点 对于给定的ɑ，0ɑ1,称满足条件的点为分布的上ɑ分位点。 由t分布上ɑ分位点的定义及h(t)图形的对称性知， F分布 设～～且独立，则称服从自由度为的F分布，记为～ 分布的概率密度为 其它 F分布的分位点 对于给定的ɑ。0ɑ1,称满足条件的点为分布的上ɑ分位点 F分布的上ɑ分位点有如下重要性质： 设总体X（不管服从什么分布，只要均值和方差存在）的均值为μ，方差为，…是来自X的一个样本，是样本均值和样本方差，则总有 而 即 进而，设X～N，则也服从正态分布，于是得到下面的定理： 定理一： 设…是来自正态总体N的样本，是样本均值，则有 ～ 对于正态总体N的样本均值和样本方差，有以下两个重要定理 定理二： 设…是总体N的样本，，分别是样本均值和样本方差，则有 ～ 与独立 定理三： 设…是总体N的样本，，分别是样本均值和样本方差，则有～ 定理四： 设…与…分别是来自正态总体和的样本，且这两个样本相互独立。设分别是这两个样本的样本均值；分别是这两个样本的样本方差，则有 ～ 当 ～ 其中