2014届高考数学 7-7立体几何的向量方法40理41课件 北师大版.ppt

1．(2012·陕西高考)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　) 【答案】　A 2．(2013·青岛模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】　建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD， 【答案】　B 【答案】　B 5．(2013·茂名模拟)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________． 【解析】　如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz. 【答案】　30° 1．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用 (1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)． 如果l1∥l2，那么u1∥u2?u1＝ku2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)； 如果l1⊥l2，那么u1⊥u2?u1·u2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0． (2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)． 若l∥α，则u⊥n?u·n＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； 若l⊥α，则u∥n?u＝kn?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)． (3)平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)． 若α∥β，则u1∥u2?u1＝ku2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)； 若α⊥β，则u1⊥u2?u1·u2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0． 如何求一平面的法向量？ 2．利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 (2)求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ， 如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点． 求证：(1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF. 【思路点拨】　可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理；也可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决． 【尝试解答】　如图建立空间直角坐标系A－xyz， 【归纳提升】　1.证线线平行与垂直 若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则： (1)l1∥l2?v1∥v2.(2)l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. 2．证线面平行与垂直 若直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则： (1)l∥α?v⊥n.(2)l⊥α?v∥n. 3．证面面平行与垂直 若平面α和β的法向量分别为n1，n2，则 (1)α∥β?n1∥n2.(2)α⊥β?n1⊥n2. (2011·全国大纲高考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________． 【思路点拨】　可以D为原点建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题． (2011·全国大纲高考)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值． 【思路点拨】　利用BC⊥CD，可以C为原点，CD，CB所在线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系． 【尝试解答】　以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. 【归纳提升】　1.异面直线所成角范围是(0°，90°]，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线a，b所成角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|. 2．利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. (2012·重庆高考)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点． (1)求点C到平面A1ABB1的距离； (2)若AB1⊥