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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[考情展望] 1.本节以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.2.以棱柱、棱锥为依托考查异面直线所成角.3.考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题.
一、平面的基本性质
名称 图示 文字表示 符号表示 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 Al,Bl,且Aα,Bα?l?α 公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 Pα,且Pβ?α∩β=l且pl
三个公理的应用
1.公理1的作用:(1)检验平面;(2)判断直线在平面内;(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内.
2.公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.
3.公理3的作用:(1)判定两平面相交;(2)作两平面相交的交线;(3)证明多点共线.
二、空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行
关系 图形
语言 符号
语言 ab a∥α α∥β 相交
关系 图形
语言 符号
语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 独有
关系 图形
语言 符号
语言 a,b是异面直线 aα 三、空间直线的位置关系
1.位置关系的分类
2.平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
3.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′a,b′b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角.
(2)范围:.
1.下列命题正确的个数为( )
梯形可以确定一个平面;若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 中两直线可以平行、相交或异面,中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,正确.
【答案】 C
2.已知a、b是异面直线,直线c直线a,那么c与b( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
【解析】 若cb,c∥a,a∥b,与a,b异面矛盾.
c,b不可能是平行直线.【答案】 C
3.若直线l不平行于平面α,且lα,则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
【解析】 由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.
【答案】 B
4.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1l2,l2l3?l1∥l3
B.l1l2,l2l3?l1⊥l3
C.l1l2∥l3?l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面
【解析】 当l1l2,l2l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;
l1l2,l2l3?l1⊥l3,故B正确;
当l1l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;
l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确,选B.
【答案】 B
5.(2013·课标全国卷)已知m,n为异面直线,m平面α,n平面β.直线l满足lm,ln,lα,lβ,则( )
A.αβ且lα
B.αβ且lβ
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
【解析】 根据所给的已知条件作图,如图所示.
由图可知α与β相交,且交线平行于l,故选D.
【答案】 D
图7-3-1
6.(2012·四川高考)如图7-3-1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.
【解析】 如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为CDN的中位线,所以MKDN.
所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体棱长为4,则A1K==,
MK=DN==,A1M==6,
A1M2+MK2=A1K2,A1MK=90°.【答案】 90°
考向一 [114] 平面的基本性质及应用
如图7-3-2,空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别在BC、CD上,且BGGC=DHHC=12.
图7-3-2
(1)求证:E、F、G、H四点共面;
(2)设EG与FH交于点P.
求证:P、A、C三点共线.
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