高等数学_函数与极限.ppt

三、小结 * 函数与极限 * 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) * 函数与极限 * 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x * 函数与极限 * 思考题 * 函数与极限 * 思考题解答 且 * 函数与极限 * 但反之不成立. 例 但 * 函数与极限 * 练 习 题 * 函数与极限 * * 函数与极限 * 练习题答案 * 函数与极限 * 一、四则运算的连续性 * 函数与极限 * 定理1 例如, 二、反函数与复合函数的连续性 * 函数与极限 * 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. * 函数与极限 * 定理3 证 * 函数与极限 * 将上两步合起来: * 函数与极限 * 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 例1 解 * 函数与极限 * 例2 解 同理可得 * 函数与极限 * 定理4 注意　定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三、初等函数的连续性 * 函数与极限 * 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ * 函数与极限 * 常用等价无穷小: 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 例如, 二、等价无穷小替换 * 函数与极限 * 定理(等价无穷小替换定理) 证 * 函数与极限 * 例3 解 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注意 * 函数与极限 * 例4 解 解 错 * 函数与极限 * 例5 解 三、小结 * 函数与极限 * 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. * 函数与极限 * 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗？ * 函数与极限 * 思考题解答 不能． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时 * 函数与极限 * 练 习 题 * 函数与极限 * * 函数与极限 * * 函数与极限 * 练习题答案 * 函数与极限 * 一、函数的连续性 * 函数与极限 * 1.函数的增量 * 函数与极限 * 2.连续的定义 * 函数与极限 * * 函数与极限 * 例1 证 由定义2知 * 函数与极限 * 3.单侧连续 定理 * 函数与极限 * 例2 解 右连续但不左连续 , * 函数与极限 * 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, * 函数与极限 * 例3 证 二、函数的间断点 * 函数与极限 * * 函数与极限 * 1.跳跃间断点 例4 解 * 函数与极限 * 2.可去间断点 例5 * 函数与极限 * 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. * 函数与极限 * 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 * 函数与极限 * 3.第二类间断点 例6 解 * 函数与极限 * 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. * 函数与极限 * 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ * 函数与极限 * 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: * 函数与极限 * 例8 解 三、无穷小与无穷大的关系 * 函数与极限 * 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 * 函数与极限 * 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 四、小结 * 函数与极限 * 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大. * 函数与极限 * 思考题 * 函数与极限 * 思考题解答 不能保证. 例 有 * 函数与极限 * 一、填空题: 练 习 题 * 函数与极限 * * 函数与极限 * 练习题答案 一、极限运算法则 * 函数与极限 * 定理 证 由无穷小运算法则,得 * 函数与极限 * * 函数与极限 * 推论1 常数因子可以提到极限