《高等数学B》第二章 极限与连续 第2节 函数的极限.pdf
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§2 函数极限
一、函数极限的定义
函数极限的一般概念:在自变量的某个变化过程
中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,
那么这个确定的数就叫做自变量在这一变化过程中
函数的极限。
这个极限是与自变量的变化过程密切相关的,由
于自变量的变化过程不同,函数的极限就表现为不
同的形式。数列极限看作函数f (n) 当n →∞时的极
限,这里自变量的变化过程是 n →∞.
下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数f (x)
的极限,主要研究两种情形:
1. 自变量趋于有限值时函数的极限
问题:函数 x 在x → 的过程中,对应函数值
y f x ( ) 0
f (x ) 无限趋近于确定值 A .
f x (A) − εf 表示x (A) − 任意小 ;
0x x − δ x表示x → 的过程.
0 0
δ δ
x 0 −δ x 0 x 0 +δ x
点x0 的去心δ邻域 , δ体现 x 接近 x0 程度 .
定义 1 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小),
总存在正数 δ, 使得对于适合不等式 的
− 0x x δ
0
x f (x )
一切 , 对应的函数值 都满足不等式
f x (A−) ε,
A f (x )x x →
那末常数 就叫函数 当 0 时的极限, 记作
f x A f x limA ( x) ( )x ( 或 ) → 当 → 0
x x → 0
ε−δ 定义 ∀ε ∃δ − δ
0, 0, 0 使当 x x 0 时,
( )f 恒有x A−. ε
注意:
1. 函数极限与(f )x 在点 x 0 是否有定义无关 ;
2. δ 与任意给定的正数 ε有关.
几何解释: y
y f x ( )
当 在 的去心 邻
x x0
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