高等数学D极限与连续.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * . 当极限式中某个无穷小不是因子不能用此性质， 即加、减项的无穷小不能替换. 例如, 注 分子中 不是分子的因子， 不能用等价无穷小 代替. * 二.无穷大量 是一个无穷小量时， 简称无穷大. 是无穷大量， 是无穷小时， 是无穷大， 称极限是“无穷大”，也说极限不存在. 例 ，即 时， 是无穷大. 即 时， 是无穷小. 如 称它的倒数 记作 * 例 * 1.无穷小 2.4 无穷小量与无穷大量小结 2.无穷大 性质 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 无穷小的比较: 等价无穷小 定理 * 例 的图形的 铅（垂）直渐近线. 2.5 曲线的渐近线 渐近线是通过函数的极限来定义的. 例题中 x=1是一条铅直渐近线。 * 的图形的 水平渐近线. 则直线 y=0是上述函数 的水平渐近线. * -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 y x y=x 3.斜渐近线: 说明当 时，曲线 与直线 的垂直距离越来越小并趋于零. 由图形知直线 是函数 的一条斜渐近线 . 因为 * 1.铅（垂）直渐近线. 2.5 曲线的渐近线小结 2.水平渐近线 3.斜渐近线: * 2.6 左极限和右极限 这确定了一个分段函数： 例 西瓜的价格 一家水果商店西瓜的价格是： 每斤0.6元，10斤和10斤以上的，每斤0.7元. 10斤以下的， y 10 0 7 6 x x x 称 为“左极限”， 为“右极限”. 称 * 解： ，求a 的值，使函数在 x = 1 例 设 处的极限存在. 所以当 函数在 x = 1 处的极限存在. 极限值是2. 定理： 函数在点a 处极限存在 在 a处左右极限存在且相等. * 思考题 1. 如果函数 在 没有定义， 是否存在？ 2. 如果函数 是否存在？ 3. 如果函数 那么 吗？ 4. 如果 是否存在？ * 极限存在充要条件 2.6 左极限、右极限小结 连续存在充要条件 * 2.7 函数的连续性 引例 在 出现了间断. 1 1 0 y x 1 1 0 y x 如图: * 连续, 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 内有定义, 若 则称函数f(x)在x0处 并称x0为函数f(x)的 连续点. 定义2 若 则称函数f(x)在x0处 连续. 把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值. 自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征. 采用了无穷小定义法 充分必要条件 * f (x)在 内有定义; (1) (2) (3) 三个要素: 存在; 函数的连续性与间断点 * 定义2.4 函数在一点连续 在以 为中心的一个 邻域 有定义，如果 成立，则称 在 是连续的； 是不连续的，称 是函数 的一个间断点. 设函数 否则就说在 2.7函数的连续性 * 间断点类型： （1） 在 没有定义； （2） （3） 西瓜价格问题中函数在 有定义，但极限不存在； “无穷间断点” “跳跃间断点” 函数 在 极限存在，但是 极限值不等于 处的函数值 “可去间断点” 2.7函数的连续性 * 可去型 跳跃型 无穷型 无穷次振荡型 函数的连续性与间断点 2.7函数的连续性 * 一个函数如果在定义域每个点都连续，则 称该函数是其定义域上的连续函数，简称连续函数. 定义2.5 连续函数 连续函数性质： （1）两个连续函数在共同区间上的和、差、积、商（分母不 为零）是连续函数. （2）连续函数的反函数是对应区间上的连续函数. （3）两个连续函数复合而成的函数是连续函数. （4）基本初等函数在其定义域内是连续的. 2.7函数的连续性 定理2.5 初等函数在其定义区间连续. * 证明：设 构成复合函数 由于 在 连续，即 在 连续，即 则 说明复合函数在 连续. （3）两个连续函数复合而成的函数是连续函数. 记 2.7函数的连续性 * 例 解 由 所以 定理 则有 . sin e = 2.7函数的连续性 * 2.8 闭区间连续函数的性质 函数 在一个闭区间 连续，是指在 连续，而且在 边界点 满足 ，分别称为在 左端点右连续、在右端点左连续. 2.8闭区间连续函数的性质 * 闭区间连续函数的性质 设 在闭区间 连续，则 在 1. 存在最大值M和最小值m. 称为“最大值最小值定理”. 2. 对介于最大值M和最小值m之