高等数学教程 下册（第4版）课件：多元函数的极限与连续.pptx
多元函数微分学及其应用
多元函数的极限与连续
直角坐标系中,
10.1.1n维空间
一元函数的定义域可用数轴上的点来表示,
记R2为二元数组(x,y)的全体,称为二维空间,
平面上的点与二元数组(x,y)一一对应.
在平面
在空间直角坐标系中,
类似地,
空间上的点与三元数组(x,y,z)
R3为三元数组(x,y,z)的全体,
一一对应,
称为三维空间.
n元有序数组
n维空间中的每一个元素
称为
n维空间中两点
间的距离定义为
一般地,设n为正整数,
的全体称为n维空间,
空间中的一个点.
邻域:
设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,
几何表示：
.P0
令
有时简记为
称为
将邻域去掉中心,
称为空心邻域.记为
我们先讨论平面上的点集.
内点:
显然,E的内点属于E.
边界点:
如点P的任一邻域内
则称P为E的边界点.
设E为一平面点集,
若存在
则称P为E的内点.
E的边界点的全体称为E的边界.
既有属于E的点,也有不属于E的点,
例如,设点集
则P为E的内点;
则P为E的边界点.
E的边界为集合
聚点:
如果点P的任何空心邻域都有E中的点,
则称P是E的聚点.
开集:
若E的任意一点都是内点,则称E为开集.
例如,
为开集,
为闭集,
既不是开集也不是闭集.
则称E为闭集.
设D是开集,
连通的开集称区域或开区域.
如果D内任何两点,都可用折线连
且该折线上的点都属于D,
则称D是连通的.
如
都是区域.
结起来,
开区域连同它的边界一起,称为闭区域.
有界区域:
否则,称为无界区域.
都是闭区域.
如
总可以被包围在一个以原点为中心、
半径适当大的圆内的区域,
为D的直径.
有界闭区域的直径：
设D是有界闭区域,称
称为有界区域.
有关邻域、区域等概念可推广到n维空间.
都有唯一确定的z与之
点集D称为该函数
称为该函数的值域.
则称z是x,y的二元函数.
定义
若对于D中
设D是xOy平面上的点集,
任意取定一个点P(x,y),
对应,
记为
称x,y为自变量,
的定义域,
数集
z为因变量,
10.1.2多元函数的极限
二元及二元以上的函数统称为多元函数.
多元函数定义域
类似地,可定义n元函数
变量取值的全体.
抽象的函数:定义域为使运算有意义的自变量取
实际问题中的函数:定义域为符合实际意义的自
值的全体.
例1求的定义域．
解
所求定义域为
二元函数的图形
这个点集称为二元函数的图形.
当x、y取遍D上一切点时,得一个空间点集,
这样,以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标
对于任意
二元函数的图形通常是一张曲面
例如,
图形如右图.
例如,
图形是球面.
单值分支:
定义域
记作
定义10.1设二元函数在D有定义,
有
成立.
时的极限.
P0(x0,y0)是D的聚点.
A为常数,
也记作
如果
说明:
(1)二元函数的极限也称二重极限;
(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似;
称为二次极限;
(4)欲证明极限存在,常用定义或夹挤定理;
(5)类似地,可以给出n元函数极限的定义.
(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的方向有任意多个,
路径又是多种多样的.
注:
例2设函数
是否存在.
解
令
故极限存在,且
讨论极限
例3求极限
解
令
则
例4求极限
解
其中
由夹挤定理
例5设函数
讨论极限是否存在.
解
取
其值随k的不同而变化,故极限不存在.
定义10.2设函数z=(x,y)在点P0(x0,y0)有定义.
10.1.3多元函数的连续性
设D为平面点集.
如果
则称z=f(x,y)在点(x0,y0)连续.
每一点都连续,
如果z=f(x,y)在D的
则称z=f(x,y)在D连续.
例6讨论函数
在点(0,0)处的连续性．
解
由例5知,
故函数在(0,0)处不连续.
多元初等函数:
定理10.1多元初等函数在其定义区域内是连续的.
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
定理10.2如果z=f(x,y)在有界闭区域D上
由常数及基本初等函数经过有
并且可以取到最大值和最小值之间的任意值