《高等数学(下册)》精品教学教案—第10章第13课:预备知识,多元函数的概念、极限与连续性.doc
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课题
预备知识,多元函数的概念、极限与连续性
课时
2课时(90min)
教学目标
知识技能目标:
(1)理解多元函数微分法的相关概念;
(2)掌握多元函数及其极限与连续性的概念;
(3)掌握极限存在的证明与求法,极限不存在的证明;
(4)理解连续函数的性质及连续性、不连续的证明
思政育人目标:
通过学习多元函数的概念、极限与连续性,引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯;培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力;树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神
教学重难点
教学重点:多元函数及其极限与连续性的概念
教学难点:极限存在的证明与求法
教学方法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学设计
第1节课:考勤(2min)→知识讲解(33min)→课堂测验(10min)
第2节课:知识讲解(30min)→课堂测验(10min)→课堂小结(5min)
教学过程
主要教学内容及步骤
设计意图
第一节课
考勤
(2min)
【教师】清点上课人数,记录好考勤
【学生】班干部报请假人员及原因
培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况
知识讲解
(33min)
【教师】讲解平面及其表示
在平面解析几何中,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点与有序二元实数组之间就建立了一一对应关系.因此,有序实数组与平面上的点可视为等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元有序实数组的全体,即就表示坐标平面.
【学生】掌握平面及其表示
【教师】讲解平面点集的定义
定义1坐标平面上具有某种性质的所有点的集合,称为平面点集,记作
.
例如,平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是
.
如果点的坐标为,以表示点到原点的距离,那么集合也可表成
.
【学生】理解平面点集的定义
【教师】讲解邻域的定义
定义2设是平面上一个点,是某一正数.与点距离小于的点的全体,称为点的邻域,记为,即
或
点的去心邻域记作,即
.
【学生】理解邻域的定义
【教师】讲解内点、外点、边界点的定义
定义3任取一点,任给一个点集,则
(1)如果存在点的某一邻域,使得,则称为的内点;
(2)如果存在点的某个邻域,使得,则称为的外点;
(3)如果点的任一邻域内既有属于的点,也有不属于的点,则称为的边界点.
的边界点的全体,称为的边界,记作.
的内点必属于;的外点必定不属于;而的边界点可能属于,也可能不属于.
【学生】理解内点、外点、边界点的定义
【教师】讲解聚点、导集的定义
定义4如果对于任意给定的,点的去心邻域内总有中的点,则称是的聚点.
由聚点的定义可知,点集的聚点可以属于,也可以不属于.
例如,设有平面点集,则满足的一切点都是的内点;满足的一切点都是的边界点,它们都不属于;满足的一切点也是的边界点,它们都属于;点集以及它的边界上的一切点都是的聚点.
的全体聚点所构成的集合称为的导集,记为.
【学生】理解聚点、导集的定义
【教师】讲解开集、闭集、连通集的定义
平面上不同的点集有不同的特征,为此我们可引入如下概念.
开集:如果点集的点都是的内点,则称为开集.
闭集:如果点集的余集为开集,则称为闭集.
例如,集合是开集;集合是闭集;而集合既不是开集,也不是闭集.
连通集:如果点集内任何两点,都可用完全包含于内的有限条折线连结起来,则称为连通集.
【学生】理解开集、闭集、连通集的定义
【教师】讲解开区域、闭区域的定义
开区域:连通的开集称为开区域,简称区域.
闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.
例如,集合是开区域;而集合是闭区域.
【学生】理解开区域、闭区域的定义
【教师】讲解有界集、无界集的定义
有界集:对于平面点集,如果存在某一正数,使得,其中是坐标原点,则称为有界集.
无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.
例如,集合是有界闭区域;集合是无界开区域;集合是无界闭区域.
【学生】理解有界集、无界集的定义
【教师】讲解两点间距离公式
定义5中的点和点之间的距离,记作,规定
.
定义了距离的维线性空间称为维欧式空间,仍记为.
【学生】掌握两点间距离公式
学习多元函数微分法的相关定义,为后面的学习打下基础
课堂测验
(10min)
【教师】出几道测试题目,测试一下大家的学习情况
【学生】做测试题目
【教师】公布题目正确答案,并演示解题过程
【学生】核对自己的答题情况,对比答题思路,巩固答题技巧
通过测试,了解学生对知识点的掌握情况,加深学生对本节课知识的印象
第二节课
知识讲解
(30min)
【教师】讲解多元函数的基本概念,并通过例题介绍其应用
1.引例
引例1矩形面积与边长、宽满足下列关系:
,
其中,长与宽