经济数学(高等数学,极限与连续).doc

经济数学 前言 一、“高等数学”的学科定位 “高等数学”，是以极限论为工具研究变 量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。 研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。 以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。 1、高等数学 初等数学， 2、高等数学又称为“微积分”，其主要内容是微分学和积分学两部分。而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。 3、同样是微积分，还有层次的高低问题。 4、在内容的系统上，其主线是运用极限论工具对函数的各特性进行讨论。这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。希望大家一定要正确对待这一难关。我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实质。 二、在学习中要注意的一些思想方法 人们往往对数学有一个看法，认为数学很难，这一看法辨证地说既对又不对。所谓难与不难是相对的，关键在认识方法上，若方法对路，相对较难的内容也能较容易地掌握。根据高数的特点，我们列举出以下几对矛盾，希望同学们在学习的全过程中，随时多想想，找到问题的症结，对症下药，对学习会有一定的帮助。 1、常量与变量的矛盾 2、内容和形式上的矛盾 3、感性和理性的矛盾 4、有限和无限的矛盾 5、局部和整体的矛盾 6、连续和离散的矛盾 三、准备 首先在这里先给两个数学符号，是全课程中大量运用的符号。 1） 符号“”，即任意选取一个，或说对于每一个 例：：即在区域D中任意选取一个元素，或说对于D中的每个。 2） 符号“”：至少存在一个 例：：即在D中存在一个元素。注意：这里的存在性并未说D中有多少个、这些在D中的哪些位置，它仅表明D中至少有一个这样的。若D中仅有唯一的一个这样的，记为 ，即存在唯一的一个。 1、绝对值 定义：为实数的绝对值 2、性质 （有九条） 6）若是正实数， 对于，若将看成定点，看成动点，则说明动点仅能在 这个区间游动。 4、一点的邻域定义 称为定点的邻域，是动点在点近旁变化范围的数学刻划。 有时问题与点本身无关，而仅对点的附近有兴趣，则提出点的去心邻域， 定义：记 为点的去心邻域。 第一章 函数 1、函数的概念及其表达形式， 2、函数的四个基本性质， 3、函数的运算。 4、五类基本初等函数：幂、指、对、三角、反三角函数。 5、函数分类：初等函数、分段函数等。 一、函数的概念 1、函数是一种变化规律，是两个数集之间的对应关系。严格的数学定义是： 定义：，通过对应关系， 与之对应，则称为D上的一个函数， 记为。 2、生产函数： 利润函数： 成本函数： 3、分段函数：中学时我们涉及的几乎都是由一个解析式表达的函数，而实际问题中大量出现的函数是在定义域内不同部分有不同的变化趋势，或说定义域内不同区域上有不同的表达式，这就必须分段刻划，一般记为： 经济问题很多都是分段函数。 例1：企业产品的收益是时间的函数，按产品的生命周期在研制期，成长期成熟期和衰退期各期收益的变化规律都不一样，分别为； 则，该产品收益的数学 模型为： 4、函数的图形： 一元函数是平面坐标系下一 条曲线。 二、函数的基本性质 1、单调性 可见一般的函数未必是单调的，而在波动起伏的不单调函数的趋势分析中，寻求单调区间是很重要的一个内容。 2、函数的有界性 3、函数的奇偶性 若的定义域D是关于原点对称的区域都有则称为偶函数，若，是奇函数。 几何意义：奇函数的图形关于原点对称， 偶函数图形关于Y轴对称。 4、函数的周期性 三、函数的运算 1、四则运算 2、反函数运算 定理：严格单调函数必有反函数。 3、复合函数 相对于复合的概念就是分解。在我们研究一 个复杂的函数结构时，是否能将其分解为若干简单的局部，或说它是由若干简单局部复合而成。可见函数的复合运算是解析函数的最重要最常用的基本运算。 例：可看成 即 我们研究的对象函数内容广泛、形式丰富、 结构复杂，要整体性的讨论难度较大。我们的讨论思路是借鉴了化