概率论与数理统计02 随机变量及概率分布.pdf
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第二章 随机变量及概率分布
为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学
工具描述其规律, 有必要引入随机变量来描述随
机试验的不同结果.
例 检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用
一个离散变量来描述
1, 次品
X ()
0 , 正品
例 电脑寿命可用一个连续变量T来描述.
T :T 0
(一)随机变量及其分布函数
1、随机变量 ( random variable )
定义 设是试验E 的样本空间, 若
按一定法则 实数X ()
则称 X ( ) 为 上的 随机变量,简记r.v. X .
r.v.一般用大写字母 X , Y , Z ,
或小写希腊字母 , , 表示.
定义 设E是随机试验。它的样本空间是={},如果对
每一个, 有一个实X()与之对应,这样就得到一个定
义在上的单值实值函数X=X(),称X()为随机变量。
随机变量 是 R 上的映射,
此映射具有如下特点
定义域 事件域 。
随机性 r.v. X 的可能取值不止一个,试验前
只能预知它的可能的取值,但不能预知取哪个值。
概率特性 X 以一定的概率取某个值。
引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机事件。
r.v.的函数一般也是r.v.
可根据随机事件定义 r.v.
设A 为随机事件,则称
1, A
X A 为事件A 的示性变量
0, A
在同一个样本空间可以同时定义多个r.v.
= {儿童的发育情况}
X () — 身高, Y() — 体重, Z() — 头围.
各r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系——
相互独立
(2) 随机变量的分布函数
对于非离散型随机变量X,我们考虑的是它落在某个
区间内的概率,即 P{x X x },由于
1 2
P{x X x }= P{X x }- P{X x }
1 2 2 1
所以,我们仅需考虑 P{X x }与 P{X x }即可.
2 1
定义 设X是一随机变量,x是任意实数,函数
F(x)=P{X x }
称为X的分布函数.
对于任意实数x ,x (x x ),有
1 2 1 2
P{x X x }= P{X x }- P{X x }=F(x )-F(x )
1 2 2 1 2 1
分布函数F(x)的基本性质:
1、F(x)是一个不减函数.
2 、0 F(x) 1, 且
F () lim F (x )
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