Maple理论力学 II 第2版 教学课件 李银山 第28章非线性振动分岔混沌.pdf

第28章非线性振动、分岔和混沌 第28章非线性振动、分岔和混沌 28.1非线性振动 28.1.1非线性振动的特点 • (1) 线性系统中的叠加原理对非线性系统是不适用的,如作 用在非线性系统上有可以展成傅氏级数的周期干扰力,其 受迫振动的解不等于每个谐波单独作用时解的叠加。 • (2) 在非线性系统中,对应于平衡状态和周期振动的定常解 一般有数个,必须研究解的稳定性问题,才能确定哪一个解 在实际中能实现。 • (3) 在线性系统中,由于阻尼存在, 自由振动总是被衰减掉, 只有在干扰力作用下,才有定常周期解。而在非线性系统 中,如自激振动系统,在有阻尼而无干扰力时,也有定常的周 期振动。 • (4) 在线性系统中,受迫振动的频率和干扰的频率相同,而对 于非线性系统,在单频干扰力作用下,其定常受迫振动的解 中,除存在和干扰力同频成分外,还有成倍数和分数的频率 成分存在。 • (5) 在线性系统中,系统频率和起始条件、振幅无 关称为固有频率,而在非线性系统中,系统频率则和 振幅有关,同时非线性系统中振动三要素也和起始 条件有关。 • (6) 非理想系统、自同步系统等不能线性化,必须 研究非线性微分方程才能对其振动规律进行分析。 • (7) 在非线性系统中,当系统参数发生微小改变(参 数摄动)时,解的周期将发生倍化分岔,分岔的继续 可能导致混沌等复杂的动力学行为。 28.1.2平均法 所谓平均法就是将以位移为未知量的振动方程，化成以振幅、 相位为未知量的标准方程组，因为振幅和相位的导数都是 O( )ε 量级的周期函数，因此，可用一个周期的平均值代替它，故称 其为平均法。以一个自由度系统自由振动的方程 2 d x 2 ,  (28-1) +ω x εf x x 2 0 ( ) dt 为例，设其一次近似解为  (28-2) x −a sin x a cosψ ， ω ψ  − ε 2π ( − ) ψ ψ ω ψ ψ a ∫ sin f a cos , a sin d 2πω 0 (28-3a)  − ε 2π ( − ω ψ ψ) ψ ω ψ ψ, sin d ∫ cos f a cos a (28-3b) π ω 0 2 a 28.1.3 多尺度法 用摄动法研究非线性方程及其解的性质,相应的物理现象中,常 出现某些因素或局部变化缓慢,某些因素或局部变化剧烈的情况,这 使人们想到对自变量要采用多种不同的变化尺度去进行渐近展开 求解。这类方法称为多尺度法。 x (t ε 非线性振动问题的解 ; ) 的渐近展开式明显地和依赖于