理论力学7_非线性动力学与混沌讲义解读.ppt

六. 自相似、分维 1. 自相似，分形 在标度变换下（完全地或统计地）具有不变的结构，也称为分形。（图形具有结构的缩尺不变性，拉伸和重标度图形的任意部分将再现全局结构）。 例：树，海岸线 2. 几种理想的规则分形 (1) 康托尔集 (Cantor set) (2) 席尔宾斯基地毯 （Sierpinski carpet） (3) 科赫曲线，科赫雪花 （Koch snowflake） 3. 实际的分形 (1) 过饱和水蒸气中形成的雪花 (2) 人体肠的绒毛组织，血管，肺支气管树 人体肠的绒毛组织 (3) 海岸线 4. 力学系统中的分形——魔梯（魔鬼阶梯 Devil’s Staircase） 阻尼单摆受迫振荡（荡秋千）的运动方程为： 若系统经过最初的暂态会趋于相空间中一条不变曲线上，系统的运动可由一下一维映射描述 —— 一维标准正弦圆周映射 (1) 物理背景 (2) 旋转数 ——映射每作用一次，转子平均转了几圈 锁频 为有理数 演示魔梯 5. 分维 分维，分数维数，Hausdorff (1919) ——容量维数 (Capacity dimension) 测量一个维数为d的物体的大小所得数M与测量所用单位 有关，此关系为 康托尔集 (Cantor set) 维数 席尔宾斯基地毯 （Sierpinski carpet） 科赫曲线 中国大陆海岸线 d=1.1597 本课结束！ 谢谢同学们！ * 以单摆为例，演示，周期：F=0.1, Ts=150, Tsp=200; 准周期：F=0.29/0.35 混沌：F=0.32 （板书）！！！！！！ （板书） * * = m 等效质量 阻尼系数 若振动频率非常低使得可看作绝热过程： 比热容 Taylor展开 密闭空腔产生的恢复力 为小量 设 可解得 一级解将有 的谐频振动。 当 时振幅最大 密闭空腔对颈部气柱的恢复力 净力（一个周期内的平均） §7.7 分岔 (Bifurcation) 一. 分岔的概念 1. 定义：对常微分方程组 为参数。如果参数 在某一值 附近的微小变化将引起解的性质（相轨线的拓扑结构）发生突变，则此现象称为分岔。 称为临界值或分岔值。在 坐标轴上其对应点为分岔点。例：极限环求解 2. 解的结构稳定性 指在参数发生微小变化时解的轨线仍维持在原轨线某一邻域内。因次非线性系统在常点的解具有结构稳定性，而分岔点附近的解是结构不稳定的。 二. 分岔的类型 1. 叉式分岔 系统参数发生微小变化时，一个稳定的定态 两个稳定的定态 例1：水平滑动摆，弹簧原长l ，参数a 变化 定态 1个奇点 3个奇点 （1）奇点 (0,0)为中心，Lyapunov稳定的 (0,0)为鞍点，不稳定的 线性稳定性定理： 不稳焦点 稳定焦点 中心 稳定结点 不稳结点 鞍点 两奇点均为中心，Lyapunov稳定的 （2）奇点 叉式分岔 2. 霍普夫（Hopf）分岔 系统参数发生微小变化时，稳定的定态 稳定的极限环 例：Van der Pol方程 定态为(0,0) 奇点(0,0)为稳定定态（结点、焦点或中心） 奇点(0,0)为不稳定定态，由极限环一节的分析，此时出现了稳定的极限环。 不稳定的定态 不稳定的极限环 3. 倍周期分岔 系统参数变化时，解的振动周期依次加倍的分岔现象，称为倍周期分岔。 例1：Duffing方程 取定 ，令 逐渐增大，数值求解。 演示 T 2T 22T 2∞T 混沌 1点（倍）周期 2点（倍）周期 4点（倍）周期 非周期（混沌） 例2： Logistic映射（虫口模型） 某代虫口（数量） 亲代虫口 1点（倍）周期 2点（倍）周期 演示Logistic映射 自相似 费根鲍姆(Feigenbaum)数： 在第n次分岔点的参数 的取值 满足： 出现混沌的分岔点处的 值， 为系统参数。 ——费根鲍姆数 普适常数 §7.8 混沌的概念、特点及描述方法 一. 混沌的概念 1. 定义：确定性非线性系统的不是由于随机性外因引起的，而是由系统内在的非线性作用产生的具有随机性的、非周期的运动状态，称为混沌。 例1：阻尼单摆的受迫振荡 方程两边除以mg，令 无因次化：令 令 仍记 演示 F=1.02 单周期极限环 F=1.07 2倍周期极限环 F