Maple理论力学 教学课件 李银山 第六部分 第25章.pdf

第二十五章 陀螺 25.1对称重刚体的定点运动(拉格朗日- 泊松情况) 具有对称轴的刚 体绕着对称轴相当快 地自转，对称轴的一 端支持在某个 点， O 且 点不是刚体的重 O 心，刚体便在重力 mg 的力矩的作用下绕O 点作定点运动（图 25-1）。 , , ) 设(x y z 是原点在 转子的 点的惯性坐标 O 系，其中 轴的方向为 z 垂直方向。 设G (0,0,−mg)T 是转子的重量，角速度 为ω ω ω ω T。注 ( 1, 2 , 3 ) 意向量 的方向是其旋 ω I 转轴的方向。是转子的 惯性张量。 至少存在一满足O′ O O′ O （点 与 重合），且其惯 性张量是对角的固定在物体 上的坐标系 ′ ′ ′ 。 (x ,y ,z ) 在这个坐标系中，其坐 标轴称为惯性主轴。对于对 称转子，其对称轴是主轴之 一，我们将它标为 轴。其′ z 它两个主轴在与 轴垂直的′ z ′ ′ (x ,y )平面内。 25.2 欧拉方程及其第一次积分 使用Euler角( , , ) Ψ Θ Φ 描述围绕固定点 的旋转 O 是便利的，刚体的位置就 由欧拉角 ，，确定。既 Ψ ΘΦ 然 轴是对称轴，主转动′ z 惯量 与 相等。 I 1 I 2 重力的力矩驱使刚体 Ox 绕节线 转动，而节线在 u 本体坐标系统中的方向余 弦为(cos Φ −sin Φ 0)。重 力的力矩大小mgh sin Θ。 因此，它在本坐标系统 中的分量为 M x ′ mgh sin Θcos Φ， M −mgh sin sin ， ′ Θ Φ y M ′ 0 z 将重力力矩的分量代入下列欧拉方程 I ω M I I ω ω 1 + −( )  1 1 2 3 2 3 I ω M I I ω ω  + −( ) 1 2 2 3