复变函数工科17讲讲述.ppt

二、形如 的积分 三、形如 的积分 引理3.1： 四、小结与思考 * * §3 留数在定积分计算中的应用 在高等数学中以及许多实际问题中， 往往要计算出一些实变函数的定积分或反 常积分的值，而这些积分中的被积函数的原 函数，不能用初等函数表示出来；例如 或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如 我们利用留数定理可以把一些计算 实变函数的定积分的问题转化为计算某些 解析函数在孤立奇点的留数，从而大大简化 计算。 而且利用留数计算积分也没有通用的方法， 下面就几个特殊类型举例说明： 利用留数计算实变函数的定积分需要满足两个条件： ① 被积函数与某个解析函数有关 ② 定积分可化为某个沿闭路的积分 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq 与 sinq 的有理函数. 令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而 其中：f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周 |z| = 1上 分母不为零。 根据留数定理有： 其中zk (k =1,2,...,n)为 f (z) 在 |z|=1内的孤立奇点. 例2 计算 解 令 极点为 : (在单位圆内) (在单位圆外) 若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴上无孤立奇点. 一般设 分析 可先讨论 最后令 即可 . 2. 积分区域的转化: 取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间，一起构成 一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”) 1. 被积函数的转化: (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x)) 可取 f(z)=R(z) . 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的奇点 都包在这积分路线内. x y . . 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 与 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. z1 z2 zk 根据留数定理得 : 当 充分大时, 总可使 x y . . z1 zk z2 结论： (1)分母至少比分子高两次; 为有理分式,其中 为互质多项式,且合条件: 例3、?? 计算积分 解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的。我们应用留数定理来计算它。考虑函数 这个函数有两个二阶极点，在上半平面上的一个是z=i。作以O为心、r为半径的圆盘。 从而 例4 设a0， b0，计算积分 解：这里 共有四个一阶极点为±ai,±bi, 其中只有ai,bi,在上半平面内 x y . . 积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上 无孤立奇点. 与 曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的奇点 包在这积分路线内 . 同前一型: 补线 一起构成封闭 都 由留数定理: 先计算: z1 z2 zk 设f(z)是闭区域 上连续的复变函数，并且设 则: 是以O为心、r为 半径的圆弧在这闭区域上的一段 如果当z在这闭区域上时， 证明：设M(r)是f(z)在 上的最大值，则有 因为当 时， 所以 x y . . 由留数定理: x y . . 公式三 z1 z2 zk 例5、?? 计算积分 解：取r0，则有 函数 在 上有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析。取积分区域如图，而只要取r1。于是我们有 从而 例6 计算积分 分析 因 在实轴上有一级极点 应使封闭路 线不经过奇点, 所以可取图示路线: 解 封闭曲线C: 由柯西定理得: 由 当 充分小时, 总有 即 本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.