复变函数-第6章.pdf

第六章 保形映射 §6.1 保形映射的几何意义 1. 解析映射的保域性 解析映射的性质分为局部性质和整体性质两方面. 局部性质 仅在一个小邻域内成立, 而整体性质在整个解析区域内成立. 例如, 函数ez 在每个直径不超过2π 的圆盘内是单射, 但在 z 整个复平面上 ( e 的解析区域) 不是单射. 一些解析函数也 许是在某些点的邻域内是单射, 但在另外一些点的邻域内不 是单射. 1 z f z ′ ≠ z f (z ) ( ) 0, 定理6.1.1 若 在 解析, 且 故存在以 为心 0 0 0 的圆盘D 使得 在D 上的单射(单叶). f (z ) 证明: 由于 ′ 也在z | 解析( ,) |且f0,z ′ 故存在以z 为 f z( ) 0 0 0 z 心的圆盘D 使得对D 内每点 有 ′ |′ ( f) | z ′ 0 f z f z − ≤ . | ( ) ( ) | 0 2 z , z D, ∈ Γ z z 如果 并且 是连接 和 的线段, 则有 1 2 1 2 ′ ′ ′ ′ | f (z ) f (z ) | f (=−z)dz f z dz( ) f