复变函数_.doc

课程名称：复变函数 （英文翻译）Functions of one complex variable 一、课程目的、任务：复变函数是数学专业，应用数学专业的一门必修专业基础课。通过本课程的学习，一方面巩固与加深对数学分析课程的理解，另一方面又可获得对解析函数基础理论的较全面完整的了解。对提高学生的数学思维，掌握数学论证和数学研究方法以及对一些后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具。本课程是进一步学习泛函分析、微分方程、微分几何、概率论等后继课程的阶梯。 二、课程内容：解析函数的积分理论、幂级数展开、残数理论等。 三、教学方式、实践环节的特色： 四、教材及参考书目： 教材：庞学诚、梁金荣、柴俊编著: 《复变函数》，科学出版社，2003年版。 参考书目： 1、钟玉泉：《复变函数论》 第3版 2. 教学内容 复数域上的基本性质 复数域上的极限和连续 闭域上连续函数性质 第二章 解析函数与保形变换 1. 本章学习要求 正确掌握复函数在一点处的可导（可微）与解析的定义及它们的区别，复函数在一点处的可微的充要条件，Cauchy_Riemann条件，复可微与实可微的关系；熟记一些基本的初等解析函数的定义及其基本性质；正确掌握一些常见的初等多值解析函数，理解支点与支割线的概念并能正确地分出多值解析函数的单值解析分支；正确理解解析函数的保角性质，熟练掌握分式线性变换的基本性质并能熟练运用分式线性变换及一些其它的初等解析函数将指定两区域间进行保形变换。 2. 教学内容 可微的定义与必要条件 Cauchy-Riemann条件 复可微与实可微的关系 第四节 初等解析函数 第五节 初等多值函数 第六节 解析函数的几何性质和线性变换 复积分 1. 本章学习要求 正确掌握复积分的概念及其基本性质，熟练掌握沿光滑曲线上的复积分的计算；正确理解并掌握Cauchy 积分定理，掌握单连通区域内解析函数的积分与路径无关性质；熟记Cauchy积分公式（导数公式）及其推导过程，能熟练利用Cauchy导数公式推出Cauchy不等式与刘维尔定理及计算沿围线上的复积分；熟练掌握平均值公式，最大模原理与Schwarz引理。 2. 教学内容 第一节 复积分的基本概念和性质 第二节 Cauchy 积分定理与Cauchy积分公式 最大模原理 第四章 级数 1. 本章学习要求 正确掌握函数项级数的一致收敛的概念及其判定法则，熟练掌握解析函数项内闭一致收敛级数的Weierstrass定理；正确掌握幂级数在收敛圆内闭一致收敛的特性， 熟练掌握幂级数收敛半径的计算方法；正确理解解析函数展开成幂级数的Taylor定理；能熟练地应用Taylor定理将解析函数在给定点展开成幂级数；熟记一些初等解析函数的Taylor展开式；正确理解并掌握解析函数零点孤立性定理与唯一性定理；正确理解圆环上解析函数的Laurent定理；；能熟练地应用Laurent定理将圆环上解析函数展开成双边幂级数；正确理解并掌握解析函数孤立奇点的分类，掌握解析函数在无穷远点的性态分析。 2. 教学内容 第一节 复数项级数 第二节 函数项级数 第三节 幂级数 第四节 解析函数的唯一性 第五节 双边幂级数 第六节 孤立奇点及分类 第七节 解析函数在无穷远点的性态 残数理论和幅角原理 1. 本章学习要求： 正确掌握残数的定义和残数定理，扩充复平面中的残数总和定理；熟练地应用残数定理于实积分的计算；正确理解并掌握幅角原理与Rouche定理及其若干重要应用； 教学内容 第一节 残数及其性质 第二节 幅角原理与Rouche定理 第三节 残数的应用 第六章 解析开拓 本章学习要求 正确理解并掌握解析开拓的内涵与基本方法；正确理解自然边界与完全解析函数的概念；正确理解并掌握连续开拓定理与对称原理，了解单值性定理。 教学内容 第一节 解析开拓的基本概念与方法 第二节 对称原理 第三节 单值性定理 七、教学时数分配： 章次 一 二 三 四 五 六 学时 4 12 10 12 12 4