大学数学(高数微积分)第八章λ矩阵第五节(课堂讲解).ppt

从而 D(?) 与对角矩阵 等价. 然后对 D1(?) 作如上的讨论. 如此继续进行 直到对角矩阵主对角线上元素所含 ? - ?1 的方幂是 按递升幂次排列为止. 依次对 ? - ?2 , … , ? - ?r 作 同样处理，最后便得到与 D(?) 等价的对角矩阵 D? (?) ，它的主对角线上所含每个相同的一次因式 的方幂，都是按递升幂次排列的. 证明 四、举例 例 1 求下列 ? - 矩阵的初等因子. 例 2 已知 ? - 矩阵 A(?) 的初等因子，秩 r 与 阶数 n ，求 A(?) 的标准形. 例 3 求下列矩阵的不变因子，行列式因子与 初等因子 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 第五节 初等因子 定义 不变因子与初等因子的关系 举例 初等因子的求法 一、定义 在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域 P 是复数域. 上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量. 为了得到若尔当标准形，再引入 定义 7 把矩阵 A (或线性变换 A ) 的每个次 数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方 幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按 出现的次数计算) 称为矩阵 A (或线性变换 A )的 初等因子. 例 设 12 级矩阵的不变因子是 ( ? - 1 )2 ( ? + 1 )( ?2 + 1 )2 . 1, 1, … , 1 , ( ? - 1 )2 , ( ? - 1 )2 ( ? + 1 ) , 9 个 按定义，它的初等因子有 7 个，即 ( ? - 1 )2 , ( ? - 1 )2 , ( ? - 1 )2 , ( ? + 1 ) , ( ? + 1 ) , ( ? - i )2 , ( ? + i )2 . 其中 ( ? - 1 )2 出现三次， ? + 1 出现二次. 二、不变因子与初等因子的关系 首先，假设 n 级矩阵 A 的不变因子 d1(?) , d2(?) , … , dn(?) 为已知. 将 di(?) (i =1, 2, … , n) 分解成互不相同 的一次因式方幂的乘积： 则其中对应于 kij ? 1 的那些方幂 就是 A 的全部初等因子. 我们注意到不变因子有 一个除尽一个的性质，即 di(?) | di+1(?) (i =1, 2, … , n - 1) , 从而 因此在 d1(?) , d2(?) , … , dn(?) 的分解式中，属于同 一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即 k1j ? k2j ? … ? knj (j = 1, 2, … , r) . 这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中 方次最高的必定出现在 dn(?) 的分解式中，方次次 高的必定出现在 dn-1(?) 的分解式中. 如此顺推下 去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子 在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的. 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩 阵的级数唯一地作出不变因子的方法. 设一个 n 级 矩阵的全