大学数学(高数微积分)第五章二次型第二节(课堂讲解).ppt

于是 A 和 C1 可写成分块矩阵 其中 ?T 为 ? 的转置，En - 1 为 n - 1 级单位矩阵， 于是 矩阵 A1 - a11-1 ?T ? 是一个 ( n - 1 ) ? ( n - 1 ) 对 称矩阵，由归纳法假设，有 ( n - 1 ) ? ( n - 1 ) 可逆 矩阵 G 使 GT( A1 - a11-1 ?T ? )G = D 为对角形. 令 于是 这是一个对角矩阵. 我们所要的可逆矩阵为 C = C1C2 . 情形二 a11 = 0 但有一个 aii ? 0 这时，只要把 A 的第一行与第 i 行互换，再把 第一列与第 i 列互换，就归结成情形一，根据初等 矩阵与初等变换的关系，取 i行 i 列 显然 P( 1 , i )T = P( 1, i ) . 矩阵 C1TAC1 = P( 1 , i ) A P( 1 , i ) 就是把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换的结果. 因此， C1TAC1 左上角第一个元 素就是 aii ，这样就归结到第一种情形. 情形三 aii = 0, i = 1, … , n, 但有一 a1j ? 0, j ? 0 与上一种情形类似，作合同变换 P( 2 , j )TAP( 2 , j ) 可以把 a1j 搬到第一行第二列的位置，这样就变成 了配方法中的第二种情况. 与那里的变数替换相对 应，取 于是 C1TAC1 的左上角就是 也就归结到第一种情形. 情形四 a1j = 0, j = 1, … , n 由对称性，aj1 , j = 1, 2, … , n , 也全为零，于是 A1 是 n - 1 级对称矩阵. 由归纳法假设，有n - 1 级 可逆矩阵 G 使 GTA1G = D 成对角形. 取 CTAC 就成为对角形. 例 3 用配方法化二次型 为标准形. 解 该二次型对应的矩阵为 因为 a11 = a22 = a33 = 0, 但 a12 ? 0, 故属于情形三 取 再取 再取 A3 已是对角矩阵，因此令 就有 作非退化线性替换 X = CY , 即得 四、初等变换法 在本节的最后，再来讨论化二次型为标准形的 初等变换法. 由本节 知， 对任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CTAC 成为对角矩阵. 由于 C 可逆，由第四章 知，存在初等矩阵 P1, P2 , … , Pk , 有 C = P1P2 …Pk . PkT …P2TP1T A P1P2 …Pk 于是 为对角矩阵. 这说明，任意一个实对称矩阵 A，可 以经过一系列相同类型的初等行、列变换化为对角 形矩阵. 这里所谓的相同类型的初等行、列变换指 的是：每对 A 进行一次行变换，紧接着对 A 进行 一次相同类型的列变换. 又因为 C = P1P2 …Pk =EP1P2 …Pk ， 所以，对 A 作的列变换同样施加于 E，即得变换 矩阵 C . 于是就有 用初等变换法化二次型为标准形的方法是： 将二次型的矩阵 A 与单位矩阵 E 构造矩阵 B 对 B 作相同类型的初等行、列变换，直到 B 中的 即为标准形的系数. 子块 A 成为对角矩阵, 则 B 中原来对应于 E 的部分 即为线性变换矩阵. 对角矩阵的主对角线上的元素 例 4 用初等变换法化二次型 为标准形. 解 该二次型对应的矩阵为 构造矩阵 B 初等变换 所以二次型的标准形为 所用线性替换为 例 5 用初等变换法化二次型 为标准形. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回