大学数学(高数微积分)第五章二次型第一节(课堂讲解).ppt

最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所 作的线性替换是非退化的. 从几何上看，这一点是 自然的，因为坐标变换一定是非退化的. 一般地， 当线性替换 X = CY 是非退化时，由上面的关系即得 Y = C-1X . 这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原. 这 样就使我们从所得二次型的性质可以推知原二次型 的一些性质. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 问题的提出 第一节 二次型及其矩阵表示 二次型的定义及矩阵表示 线性替换 合同矩阵 在解析几何中, 为了便于研究二次曲线 把方程化为标准形 的几何性质, 我们可以选择适当的角度?，作转轴 ax2 + 2bxy + cy2 = f (1) (反时针方向转轴) 一、问题的提出 变量的二次齐次多项式的化简问题. (1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的 观点看, 化标准的过程就是通过变量的线性替换(2) 化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常 会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个 二、二次型的定义及矩阵表示 f(x1 , x2 , … , xn ) = a11x12 + a22x22 +…+annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2an-1,nxn-1xn (3) 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次 1. 定义 定义1 设 P 是一数域，一个系数在数域 P 中 的 x1 , x2 , … , xn 二次齐次多项式 型. 2. 二次型的矩阵表示 设有二次型 f(x1 , x2 , … , xn ) = a11x12 + a22x22 +…+annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2an-1,nxn-1xn . 令 aij = aji , i j . 由于 xi xj = xj xi , 所以二次型可以写成 f(x1 , x2 , … , xn ) = a11x12 + a12x1x2 + … + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + … + a2nx2xn ………… + an1xnx1 + an2xnx2 + … + annxn2 把上式的系数排成一个 n ? n 矩阵 它就称为二次型的矩阵. 因为 aij = aji , i , j = 1, 2, …, n , 所以 A = AT . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型 的矩阵都是对称矩阵. 令 因为 所以二次型可表示成 f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX . 这即为二次型的矩阵表示形式. 应该看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i ? j 时 aij = aji 正是它的 xixj 项的系数的一半，而 aii 是 xi2 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一 决定的. 由此还能得到，若二次