文档详情

大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第一节课件(课堂讲解).ppt

发布:2018-09-14约4.73千字共31页下载文档
文本预览下载声明
不难把勾股定理推广到多个向量的情形,即如 果 ?1 , ?2 , …, ?m 两两正交,那么 | ?1 + ?2 + …+ ?m |2 = | ?1 |2 + | ?2 |2 + … + | ?m |2 . 在以上的讨论中,我们对空间的维数没有作任 何限制. 从现在开始,我们假定空间是有限维的. 四、度量矩阵 设 V 是一个 n 维欧几里得空间,在 V 中取一 组基 ?1 , ?2 , … , ?n , 对于 V 中任意两个向量 ? = x1?1 + x2?2 + … + xn?n , ? = y1?1 + y2?2 + … + yn?n , 由内积的性质得 (? , ? ) =(x1?1+x2?2+…+xn?n , y1?1+y2?2+…+yn?n ) 令 aij = (?i , ?j ) ( i , j = 1 , 2 , …, n ) , (7) 显然 aij = aji . 于是 利用矩阵,(? , ? ) 还可以写成 (? , ? ) = XTAY , (9) 其中 分别是 ? , ? 的坐标, A = ( aij )nn 称为基 ?1 , ?2 , … , ?n 的度量矩阵. 而矩阵 上面的讨论表明,在知道了一组基的度量矩阵 之后,任意两个向量的内积就可以通过坐标按 (8) 或 (9) 来计算,因而度量矩阵完全确定内积. 设 ?1 , ?2 , … , ?n 是空间 V 的另外一组基,而 由 ?1 , ?2 , … , ?n 到 ?1 , ?2 , … , ?n 的过渡矩阵为 C, 即 (?1 , ?2 , … , ?n ) = (?1 , ?2 , … , ?n ) C . 于是不难算出,基 ?1 , ?2 , … , ?n 的度量矩阵 B = ( bij ) = (?i , ?j ) = CTAC . (10) 这就是说,不同基的度量矩阵是合同的. 根据条件 对非零向量 ? ,即 有 (? , ? ) = XTAX 0 . 因此,度量矩阵是正定的. 反之,给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线 性空间 V 的一组基 ?1 , ?2 , … , ?n . 可以规定内积, 使它成为欧几里得空间,并且基 ?1 , ?2 , … , ?n 的度 量矩阵为 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下 显然也是一个欧几里得空间. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间. 五、举例 例 1 在欧氏空间 Rn 中计算下列向量的内积, 并求它们之间的夹角. 单击这里开始 例 2 在 4 维欧氏空间中,设基 的度量矩阵为 (1) 求基 的度量矩阵; (2) 求向量 的内积. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 第一节 定义与基本性质 内积 长度 度量矩阵 夹角 举例 在线性空间中,向量之间的基本运算只有加法 与数量乘法,统称为线性运算. 如果我们以几何 空间中的向量作
显示全部
相似文档