第九章-欧几里得空间-习题答案.doc
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第九章欧几里得空间部分习题答案
习题（P393-P397）
1．设是一个级正定矩阵，而
，．
在中定义内积为
．
1）证明在这个定义之下，成一欧氏空间；
2）求单位向量，，，的度量矩阵；
3）具体写出这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式．
解1）显然是上的一个二元实函数，且
①；
②；
③；
④由于是正定矩阵，故，并且，当且仅当时，．
因此，根据欧氏空间的定义，在这个定义之下，成为欧氏空间．
2）由于
，，
故的度量矩阵就是．
3）根据
，
其中，，所以这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式为
．
2．在中，求之间的夹角（内积按通常定义）．设
1），；
2），；
3），．
解1）由于，故．
2）由于，且
，，
故．
3）同样，直接计算得
，，，
故．
『方法技巧』首先判断是否为零，如果为零，那么与正交，即；否则，计算和，由定义求与的夹角．
4．在中求一单位向量与正交．
解设所求向量为．由与已知向量都正交，得方程组
直接解得它的一个基础解系为．又因为是单位向量，所以
．
『特别提醒』要注意与同向和反向的单位向量都满足要求．
5．设是欧氏空间的一组基，证明：
1）如果使，，那么；
2）如果使对任一有，那么．
『解题提示』只需要说明和，．
证明1）由于为欧氏空间的一组基，故存在，使得
．
于是，根据，，得到
．
因此．
2）由于对任意的有，故对任意的也有，即
，．
根据1）可知，即．
6．设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
也是一组标准正交基．
证法1由于是标准正交基，故
，，
，，
，，
即
所以也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．
证法2设从到的过渡矩阵为，即
．
直接计算可知
，
即是正交矩阵．从而也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．
『解题提示』方法1利用定义直接进行了证明；方法2则根据：如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基也是标准正交基．
7．设是五维欧氏空间的一组标准正交基，，其中
，，，
求的一组标准正交基．
解首先说明线性无关．事实上，设，即
，
根据是线性无关的，得，即线性无关．于是是的一组基．下面，根据施密特正交化方法对它们标准正交化：
正交化：，
，
；
单位化：，
，
．
则即为的标准正交基．
『方法技巧』这类求一个欧氏空间或其子空间的标准正交基的题目，首先确定该欧氏空间或子空间的一组基，然后再将这组基标准正交化即可求得．
12．设是维欧氏空间中一组向量，而
．
证明：当且仅当时线性无关．
证明设有线性关系
，
将其分别与取内积，可得方程组
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式，故当且仅当时线性无关．
『方法技巧』将构造成一个线性方程组的系数矩阵．题目中的矩阵称为向量组的格拉姆矩阵，当为一组基时，其格拉姆矩阵即为度量矩阵．
16．证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．
证明设是反对称矩阵，是属于特征值的特征向量，即，则用左乘两边得
，
由于，故，从而为纯虚数或零．事实上，令，可得，即，因此或者或（）．
『方法技巧』与证明实对称矩阵的特征值均为实数的方法类似．
17．求正交矩阵使成对角形，其中为：
1）；2）；3）；
解1）矩阵的特征多项式为
，
则的特征值为，分别求解齐次方程组得对应的特征向量为
．
将其单位化得
．
令
，
则即为所求，且
．
2）矩阵的特征多项式为
，
则的特征值为（二重）．分别求解齐次方程组得：
的特征向量为，
的特征向量为，．
将其正交单位化得
，
令
，
则即为所求，且
．
3）矩阵的特征多项式为
，
则的特征值为．分别求齐次方程组得相应的特征向量为
，
将其单位化得
，
令
，
则即为所求，且
．
『方法技巧』实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的，如果属于某个特征值的特征向量只有一个时，则只需对它单位化即可，此时，它必与其它向量正交．
18．用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1）；
2）；
3）；
『解题提示』按照上一题的方法求出能够使得二次型的矩阵可对角化的，则即为所求的正交线性替换．
解1）原二次型的矩阵
，
且的特征多项式为，则其特征值为．分别求齐次方程组得相应的特征向量为
，
单位化得
，
令
，
则是正交矩阵，且
．
那么正交线性替换，使得原二次型化为
．
2）原二次型的矩阵
，
且的特征多项式为，则其特征值为（二重）．分别求齐次方程组得相应的特征向量为
，
正交单位化得
，
令
，
则是正交矩阵，且
．
那么正交线性替换，使得原二次型化为
．
3）原二次型的矩阵
，
且的特征多项式为，则其特征值为（二重），（二重）