欧几里得空间.ppt

首页上页下页返回结束第30页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第31页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第32页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第33页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第34页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第35页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第36页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第37页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第38页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页返回结束第39页,共39页，星期六，2024年，5月一、基本内容首页上页下页返回结束1.基本概念(1)内积与欧氏空间概念(4个条件)(2)向量的长度、距离与夹角长度：距离：夹角：第2页,共39页，星期六，2024年，5月(3)度量矩阵首页上页下页返回结束第3页,共39页，星期六，2024年，5月(4)标准正交基由两两正交的单位向量组成的基.(5)正交子空间(6)欧氏空间的同构同构映射保持运算(加法、数乘、内积)首页上页下页返回结束第4页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束2.基本性质设V为欧氏空间,对于V的内积,有:关于标准正交基,有:(4)正交向量组是线性无关的.第5页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束3.标准正交基下基本度量的表达式第6页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第7页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束4.标准正交基的存在性与正交化方法第8页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束5.正交变换与正交矩阵第9页,共39页，星期六，2024年，5月标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;首页上页下页返回结束第10页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束6.对称变换与对称矩阵(2)实对称矩阵的特征值都是实数.(1)对称变换的特征值都是实数.主要结论:第11页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第12页,共39页，星期六，2024年，5月二、基本解题方法首页上页下页返回结束2.学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念.内积实际上是定义在线性空间V上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.1.欧氏空间是一个实数域上的线性空间,对于线性空间的一些基本概念,比如向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.第13页,共39页，星期六，2024年，5月3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度量性质显得较为简单.4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得的向量单位化(即标准化).5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.首页上页下页返回结束第14页,共39页，星期六，2024年，5月三、例题选讲首页上页下页返回结束第15页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第16页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第17页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页返回结束第18页,共39页，星期六，2024年，5月首页上页下页